Skip to main content

C13.1 - Sisteme de ecuații

Forma generală​

Un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute are forma generală:

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

unde x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} sunt necunoscutele, iar a1,b1,a2,b2,c1,c2∈Ra_1, b_1, a_2, b_2, c_1, c_2 \in \mathbb{R} sunt coeficienții.

Noțiune​

Prin rezolvarea sistemului de ecuații se înțelege determinarea tuturor perechilor ordonate (x,y)(x, y)
pentru care ambele ecuații sunt adevărate simultan.

Cazurile posibile​

Cazuri
  1. S=S1∩S2={(a,b)}S = S_1 \cap S_2 = \{(a, b)\} – sistemul are o soluție unică.
  2. S=S1∩S2=∅S = S_1 \cap S_2 = \emptyset – sistemul nu are soluții (ecuațiile sunt incompatibile).
  3. S=S1∩S2=S1S = S_1 \cap S_2 = S_1 sau S2S_2 – sistemul are o infinitate de soluții în R\mathbb{R}.

Două sisteme se numesc echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții.

Metode de rezolvare​

Există două metode principale:

  1. Metoda substituției
  2. Metoda reducerii

1. Metoda substituției​

Etapele metodei substituției
  1. Se scoate una dintre necunoscute dintr-o ecuație.
  2. Se înlocuiește necunoscuta extrasă în cealaltă ecuație.
  3. Se calculează valoarea celeilalte necunoscute.
  4. Se înlocuiește valoarea găsită în prima ecuație pentru a afla și a doua necunoscută.

Exemple​

Exemplul 1​

{x+y=1999x−y=−1999\begin{cases} x + y = 1999 \\ x - y = -1999 \end{cases}

Rezolvare:

Din prima ecuație: x=1999−yx = 1999 - y

Înlocuim în a doua ecuație: 1999−y−y=−19991999 - y - y = -1999
−2y=−1999−1999-2y = -1999 - 1999
y=1999y = 1999

Apoi: x=1999−y=1999−1999=0x = 1999 - y = 1999 - 1999 = 0

R: S={(0,1999)}S = \{(0, 1999)\}

Exemplul 2​

{2x−3y=53x+y=2\begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 3x + y = 2 \end{cases}

Rezolvare:

Din a doua ecuație: y=2−3xy = 2 - 3x

Înlocuim în prima: 2x−3(2−3x)=52x - 3(2 - 3x) = 5
2x−6+9x=52x - 6 + 9x = 5
11x−6=511x - 6 = 5
11x=11⇒x=111x = 11 \Rightarrow x = 1

Înlocuim în y=2−3xy = 2 - 3x: y=2−3⋅1=−1y = 2 - 3\cdot1 = -1

R: S={(1,−1)}S = \{(1, -1)\}

2. Metoda reducerii​

Etapele metodei reducerii
  1. Se înmulțesc termenii unei ecuații (sau ai ambelor) cu un număr astfel încât,
    prin adunarea sau scăderea celor două ecuații, să se anuleze una dintre necunoscute.
  2. Se rezolvă ecuația obținută cu o singură necunoscută.
  3. Se înlocuiește valoarea găsită într-una din ecuațiile inițiale pentru a afla și cealaltă necunoscută.
  4. Dacă, după adunare, se anulează toți termenii care conțin necunoscutele,
    sistemul nu are soluție unică (poate fi incompatibil sau echivalent).

Exemple​

Exemplul 1​

{x+y=1999x−y=−1999\begin{cases} x + y = 1999 \\ x - y = -1999 \end{cases}

Adunăm cele două ecuații:

(x+y)+(x−y)=1999+(−1999)(x + y) + (x - y) = 1999 + (-1999) 2x=0⇒x=02x = 0 \Rightarrow x = 0

Apoi:

x+y=1999⇒0+y=1999⇒y=1999x + y = 1999 \Rightarrow 0 + y = 1999 \Rightarrow y = 1999

R: S={(0,1999)}S = \{(0, 1999)\}

Exemplul 2​

{2x−3y=53x+y=2\begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 3x + y = 2 \end{cases}

Înmulțim a doua ecuație cu 33 pentru a elimina yy:

{2x−3y=59x+3y=6\begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 9x + 3y = 6 \end{cases}

Adunăm ecuațiile:

(2x−3y)+(9x+3y)=5+6(2x - 3y) + (9x + 3y) = 5 + 6 11x=11⇒x=111x = 11 \Rightarrow x = 1

Înlocuim în a doua ecuație:

3x+y=2⇒3⋅1+y=2⇒y=−13x + y = 2 \Rightarrow 3\cdot1 + y = 2 \Rightarrow y = -1

R: S={(1,−1)}S = \{(1, -1)\}

Concluzii​

De retinut
  • Ambele metode (substituția și reducerea) conduc la același rezultat.
  • Alegerea metodei depinde de forma sistemului:
    • dacă o necunoscută are coeficient 1 sau -1, se preferă substituția;
    • dacă se pot anula ușor termenii prin amplificare, se preferă reducerea.
© Proprietate intelectuala Edumat58