G5 - Linia mijlocie în triunghi

---

Definiție

Definiție

Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie a triunghiului.

Dacă $M, N, P$ sunt mijloacele laturilor triunghiului $ABC$,
atunci segmentele $MN, NP, MP$ sunt liniile mijlocii ale triunghiului.

---

Proprietate

Proprietate

Linia mijlocie determinată de mijloacele a două laturi ale unui triunghi este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.

Astfel, pentru triunghiul $ABC$:

$$MN \parallel BC,\quad NP \parallel AB,\quad MP \parallel AC$$

și

$$MN = \frac{BC}{2}, \quad NP = \frac{AB}{2}, \quad MP = \frac{AC}{2}$$

sau echivalent:

$$BC = 2\cdot MN, \quad AB = 2\cdot NP, \quad AC = 2\cdot MP$$

---

Aplicații

Exemplul 1

Problemă

Fie triunghiul $ABC$ în care $MN$, $NP$, $MP$ sunt liniile mijlocii.
Știind că $BC = 8\text{ cm}$, $AC = 7\text{ cm}$ și $NP = 3\text{ cm}$,
să se calculeze perimetrul triunghiului $MNP$.

Rezolvare:

$$MN = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}$$ $$MP = \frac{AC}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5\text{ cm}$$ $$NP = 3\text{ cm}$$

Perimetrul triunghiului $MNP$ este:

$$P_{MNP} = MN + NP + MP = 4 + 3 + 3{,}5 = 10{,}5\text{ cm}$$

De reținut

$$P_{MNP} = \frac{P_{ABC}}{2}$$

---

Exemplul 2

Problemă

Fie paralelogramul $ABCD$, în care $S, T, U, V$ sunt mijloacele laturilor.
Se cere să se arate că patrulaterul $STUV$ este paralelogram.

Rezolvare:

În $\triangle ABD$, punctele $V$ și $S$ sunt mijloacele laturilor $AD$ și $AB$,
deci $SV$ este linie mijlocie:

$$VS \parallel BD, \quad VS = \frac{BD}{2}$$

În $\triangle CBD$, punctele $U$ și $T$ sunt mijloacele laturilor $CD$ și $CB$,
deci $UT$ este linie mijlocie:

$$UT \parallel BD, \quad UT = \frac{BD}{2}$$

Rezultă:

• $VS \parallel BD$ și $UT \parallel BD \Rightarrow VS \parallel UT$
• $VS = \frac{BD}{2}$ și $UT = \frac{BD}{2} \Rightarrow VS = UT$

Prin urmare:

$$STUV \text{ este paralelogram.}$$

---