C11 - Relația de egalitate

---

Proprietăți ale relației de egalitate

Reguli fundamentale

Pornind de la o egalitate, se pot obține egalități echivalente prin următoarele transformări:

1. Se adună sau se scade, din ambii membri ai egalității, același număr real.
2. Se înmulțesc sau se împart ambii membri ai egalității, cu același număr real nenul.
3. Se ridică la puterea $n \in \mathbb{Z}^*$, ambii membri ai egalității, dacă ambii membri sunt numere pozitive.
4. Se extrage radicalul din ambii membri ai egalității, dacă ambii membri sunt numere pozitive.

---

Scriere matematică

Fie $a, b, c \in \mathbb{R}$, cu $c \ne 0$:

$$\begin{aligned} 1. \quad & a = b \iff a + c = b + c, && \forall c \in \mathbb{R} \\ & a = b \iff a - c = b - c, && \forall c \in \mathbb{R} \\ \\ 2. \quad & a = b \iff a \cdot c = b \cdot c, && \forall c \in \mathbb{R}^* \\ & a = b \iff a : c = b : c, && \forall c \in \mathbb{R}^* \\ \\ 3. \quad & \text{Dacă } a > 0, \ b > 0, \text{ atunci } a = b \iff a^n = b^n, && n \in \mathbb{Z}^* \\ \\ 4. \quad & \text{Dacă } a \ge 0, \ b \ge 0, \text{ atunci } a = b \iff \sqrt{a} = \sqrt{b} \end{aligned}$$

---

Exemple

1. $x = y \iff x + 3 = y + 3$
2. $z = t \iff z - 11 = t - 11$
3. $c = d \iff c \cdot 7 = d \cdot 7$
4. $a = b \iff \dfrac{a}{-2} = \dfrac{b}{-2}$

---

Obținerea de noi egalități din egalități date

Reguli de transformare

Fiind date două egalități, se pot obține noi egalități utile prin următoarele operații:

1. Se adună, membru cu membru, cele două egalități.
2. Se scad, membru cu membru, cele două egalități.
3. Se înmulțesc, membru cu membru, cele două egalități.
4. Se împart, membru cu membru, cele două egalități.
5. Se ridică la putere, membru cu membru, cele două egalități.

---

Exemple

Exemplul 1

Problema:

Dacă $a + b = 11$ și $c + d = 9$, determinați $a + b + c + d$.

Rezolvare:

$$\begin{cases} a + b = 11 \\ c + d = 9 \end{cases}$$

Adunăm relațiile:

$$a + b + c + d = 11 + 9 = 20$$

R: $a + b + c + d = 20$

---

Exemplul 2

Problema:

Dacă $x = 4$ și $b + c = 13$, determinați $b + c - x$.

Rezolvare:

$$\begin{cases} b + c = 13 \\ x = 4 \end{cases}$$

Scădem relațiile:

$$b + c - x = 13 - 4 = 9$$

R: $b + c - x = 9$

---

Exemplul 3

Problema:

Dacă $x = 4$ și $b + c = 13$, determinați $2b + 2c - 3x$.

Rezolvare:

Din $b + c = 13$, înmulțim relația cu 2:

$$2b + 2c = 26$$

Din $x = 4$, înmulțim relația cu 3:

$$3x = 12$$

Scădem relațiile:

$$2b + 2c - 3x = 26 - 12 = 14$$

R: $2b + 2c - 3x = 14$

---

Exemplul 4

Problema:

Dacă $5a - 5b = 15$ și $2a + c = 7$, determinați $3a - b + c$.

Rezolvare:

Din prima relație:

$$5a - 5b = 15 \quad \Rightarrow \quad a - b = 3 \quad (/ : 5)$$

Avem:

$$\begin{cases} a - b = 3 \\ 2a + c = 7 \end{cases}$$

Adunăm relațiile:

$$3a - b + c = 10$$

R: $3a - b + c = 10$

---