G2 - Unghiuri opuse la vârf și unghiuri formate în jurul unui punct

---

Unghiuri opuse la vârf

Definiție

Două unghiuri care au același vârf, iar laturile lor sunt perechi de semidrepte opuse,
se numesc unghiuri opuse la vârf.

Proprietate

Dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci ele sunt congruente.

---

Exemplu

În figura alăturată:

• $\measuredangle AOC$ și $\measuredangle BOD$ sunt opuse la vârf.
• De asemenea, $\measuredangle AOD$ și $\measuredangle BOC$ sunt opuse la vârf.

Rezultă:

$$\measuredangle AOC \equiv \measuredangle BOD, \quad \measuredangle AOD \equiv \measuredangle BOC$$

---

Unghiuri formate în jurul unui punct

Definiție

Trei sau mai multe unghiuri cu același vârf, fără puncte interioare comune,
și care, reunite cu interioarele lor, acoperă întreg planul,
se numesc unghiuri în jurul unui punct.

Proprietate

Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu:

$$360^\circ$$

---

Exemplu

În figura alăturată,
$\measuredangle ASB$, $\measuredangle BSC$, $\measuredangle CSD$, $\measuredangle DSA$
sunt patru unghiuri în jurul aceluiași punct $S$.

Rezultă:

$$m(\measuredangle ASB) + m(\measuredangle BSC) + m(\measuredangle CSD) + m(\measuredangle DSA) = 360^\circ$$

---

Aplicații

Problema 1

Enunț

Zece unghiuri în jurul unui punct sunt congruente.
Care este măsura unuia?

Rezolvare:

$$360^\circ : 10 = 36^\circ$$

R: Măsura fiecărui unghi este 36°.

---

Problema 2

Enunț

Se consideră figura alăturată în care avem unghiuri opuse la vârf și
$m(\measuredangle AOD) = 50^\circ$.
Calculați $m(\measuredangle AOB)$ și $m(\measuredangle BOC)$.

Rezolvare:

$$m(\measuredangle AOB) = 180^\circ - m(\measuredangle AOD) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$$ $$m(\measuredangle BOC) = m(\measuredangle AOD) = 50^\circ$$

R:
$m(\measuredangle AOB) = 130^\circ$,
$m(\measuredangle BOC) = 50^\circ$.

---

Problema 3

Enunț

În figura alăturată avem patru unghiuri în jurul unui punct,
cu măsurile:
$m(\measuredangle ZOY) = 90^\circ$,
$m(\measuredangle YOX) = 72^\circ$,
$m(\measuredangle XOT) = 120^\circ$.

Calculați:
$m(\measuredangle ZOT)$, $m(\measuredangle YOT)$, $m(\measuredangle ZOX)$.

Rezolvare:

$$m(\measuredangle ZOT) = 360^\circ - (90^\circ + 72^\circ + 120^\circ) = 360^\circ - 282^\circ = 78^\circ$$ $$m(\measuredangle YOT) = m(\measuredangle ZOT) + m(\measuredangle ZOY) = 78^\circ + 90^\circ = 168^\circ$$ $$m(\measuredangle ZOX) = m(\measuredangle ZOY) + m(\measuredangle YOX) = 90^\circ + 72^\circ = 162^\circ$$

R:
$m(\measuredangle ZOT) = 78^\circ$,
$m(\measuredangle YOT) = 168^\circ$,
$m(\measuredangle ZOX) = 162^\circ$.

---