C12.2 - Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

---

Definiție

Produsul a două numere întregi nenule este numărul întreg care are:

• modulul egal cu produsul modulelor factorilor;
• semnul „+” dacă factorii au același semn;
• semnul „–” dacă factorii au semne contrare.

Dacă cel puțin unul dintre factori este nul, atunci produsul este 0.

---

Regula semnelor

Operație	Rezultat
$(+)\cdot(+)$	$(+)$
$(-)\cdot(-)$	$(+)$
$(+)\cdot(-)$	$(-)$
$(-)\cdot(+)$	$(-)$

---

Exemple

Nr.	Calcul	Rezultat
1	$(+4)\cdot(+3)$	$+12$
2	$(-4)\cdot(-3)$	$+12$
3	$(+4)\cdot(-3)$	$-12$
4	$(-4)\cdot(+3)$	$-12$
5	$(+5)\cdot(+9)$	$+45$
6	$(-6)\cdot(+7)$	$-42$
7	$(-8)\cdot(-5)$	$+40$
8	$(+10)\cdot(-6)$	$-60$
9	$(+11)\cdot(-2)$	$-22$

Nr.	Calcul	Rezultat
10	$(+4)\cdot 0$	$0$
11	$(-4)\cdot 0$	$0$
12	$0\cdot(+3)$	$0$
13	$0\cdot(-3)$	$0$
14	$(+4)\cdot(-2)\cdot(+6)$	$-48$
15	$(-5)\cdot(-8)\cdot(-2)$	$-80$
16	$(+6)\cdot(-4)\cdot(-3)$	$+72$
17	$(+4)\cdot(-10)\cdot 0$	$0$
18	$(-3)\cdot(+2)\cdot(-6)\cdot(-2)$	$-72$

---

Proprietățile înmulțirii numerelor întregi

Înmulțirea numerelor întregi are aceleași proprietăți ca și înmulțirea numerelor naturale:

1. Asociativitate:
   $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c), \quad \forall a,b,c\in\mathbb{Z}$

2. Comutativitate:
   $a\cdot b = b\cdot a, \quad \forall a,b\in\mathbb{Z}$

3. Element neutru:
   $a\cdot 1 = 1\cdot a = a, \quad \forall a\in\mathbb{Z}$

4. Distributivitate față de adunare și scădere:

   $$a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c \\ a\cdot(b-c) = a\cdot b - a\cdot c$$

---

Exemple de aplicare a proprietăților

Nr.	Calcul	Rezultat
1	$(+2)\cdot 1$	$+2$
2	$1\cdot(-2)$	$-2$
3	$(+2)\cdot(-1)$	$-2$
4	$(-2)\cdot(-1)$	$+2$
5	$(-2)\cdot(-7)\cdot(-5) = (-2)\cdot(-5)\cdot(-7) = (+10)\cdot(-7)$	$-70$
6	$(-3)\cdot(-4)\cdot(+25) = (-3)\cdot(-100)$	$+300$
7	$(+4)\cdot(-50)\cdot(+9) = (-200)\cdot(+9)$	$-1800$

Calculați în două moduri:

1. $(-6)\cdot(+7) + (-6)\cdot(+9) = (-42) + (-54) = -96$
   sau
   $(-6)\cdot[(+7) + (+9)] = (-6)\cdot(+16) = -96$

2. $(-10)\cdot(+8) - (-10)\cdot(+6) = (-80) - (-60) = -80 + 60 = -20$
   sau
   $(-10)\cdot[(+8) - (+6)] = (-10)\cdot(+2) = -20$

3. $-4\cdot(-8 + 12) = -4\cdot(+4) = -16$
   sau
   $-4\cdot(-8) + (-4)\cdot 12 = +32 - 48 = -16$

---

Multiplii unui număr întreg

Definiție

Fie $a$ și $b$ două numere întregi.
Spunem că $a$ este multiplul lui $b$ (sau că $a$ se divide cu $b$) dacă există un număr întreg $c$ astfel încât:

$$a = b \cdot c$$

Scriem $a : b$ sau $b \mid a$.
Numărul $b$ se numește divizor al lui $a$.

Mulțimea multiplilor numărului întreg $n$ se notează cu:

$$M_n = \{k\cdot n \mid k \in \mathbb{Z}\}$$

Se observă că:

$$M_n = M_{-n}, \quad \forall n \in \mathbb{Z}$$

---

Exemple

1. $M_5 = \{0, \pm5, \pm10, \pm15, \pm20, \dots, \pm5n, \dots\}$
2. $M_{-3} = \{0, \pm3, \pm6, \pm9, \pm12, \pm15, \dots, \pm3n, \dots\}$
3. Dintre numerele $10, 44, 125, -108, 253, 120, -200, -302, 624$, multiplii lui $4$ sunt:
   44, -108, 120, -200, 624.
4. Înșirați 11 multipli întregi ai numărului $-2$, dintre care 5 să fie negativi:
   $-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10$

---

Împărțirea numerelor întregi

Definiție

Fie $a, b \in \mathbb{Z}$, cu $b \neq 0$ și $a$ un multiplu al lui $b$.
Câtul dintre $a$ și $b$, notat $a : b$, este acel număr întreg $c$ pentru care:

$$a = b \cdot c$$

$a$ se numește deîmpărțit, iar $b$ împărțitor.

---

Observații

• Regula semnelor este aceeași ca la înmulțire.
• Valoarea absolută a câtului este egală cu câtul valorilor absolute.
• Dacă deîmpărțitul este nul, atunci câtul este 0.
• Dacă împărțitorul este nul, împărțirea nu are sens.

---

Exemple

Nr.	Calcul	Rezultat
1	$(+20) : (+10)$	$+2$
2	$(-20) : (-10)$	$+2$
3	$(+20) : (-10)$	$-2$
4	$(-20) : (+10)$	$-2$
5	$0 : (+5)$	$0$
6	$0 : (-6)$	$0$
7	$(+8) : 0$	nu are sens
8	$(-7) : 0$	nu are sens
9	$0 : 0$	nu are sens

Nr.	Calcul	Rezultat
10	$(-12) : (+1)$	$-12$
11	$(-12) : (-1)$	$+12$
12	$(-35) : (-7)$	$+5$
13	$(+144) : (-12) : (+6)$	$(-12) : (+6) = -2$
14	$(-18) : (-3) : (+6)$	$(+6) : (+6) = +1$
15	$(-100) : (+25) : (-1)$	$(-4) : (-1) = +4$
16	$(+13) : (-13) : (+1)$	$(-1) : (+1) = -1$
17	$(+1024) : (-32)$	$-32$
18	$(-760) : (-10)$	$+76$

---

Divizorii unui număr întreg

Definiție

Dacă $a$ este un multiplu al lui $b$, atunci $b$ este un divizor al numărului $a$.

Mulțimea divizorilor unui număr întreg $n$ se notează cu:

$$D_n = D_{-n}, \quad \forall n \in \mathbb{Z}$$

---

Exemple

1. $D_6 = \{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}$
2. $D_{-15} = \{\pm1, \pm3, \pm5, \pm15\}$
3. Divizorii numerelor:
   • $18$: divizori naturali $=\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$, divizori întregi $=\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18\}$
   • $-37$: divizori naturali $=\{1, 37\}$, divizori întregi $=\{\pm1, \pm37\}$
4. Dintre numerele $-9, +6, -12, 14, 21, -16, +24, -36, 32$, divizorii lui $144$ sunt:
   -9, +6, -12, -16, +24, -36

---