Skip to main content

C12.1 - Adunarea și scăderea numerelor întregi

1. Adunarea numerelor întregi​

Definiție

Suma a două numere întregi este tot un număr întreg.

Fie a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}.

Cazul I — a,b≥0a, b \ge 0​

Suma numerelor întregi nenegative aa și bb este suma numerelor naturale aa și bb:

S=a+bS = a + b
Exemple

(+3)+(+7)=+10=10(+3) + (+7) = +10 = 10
8+(+73)=+81=818 + (+73) = +81 = 81
+145+(+529)=+674=674+145 + (+529) = +674 = 674

Cazul II — a,b<0a, b \lt 0​

Suma numerelor întregi negative aa și bb este:

S=−(∣a∣+∣b∣)S = -(|a| + |b|)
Exemple

(−6)+(−8)=−(∣−6∣+∣−8∣)=−(6+8)=−14(-6) + (-8) = -(|-6| + |-8|) = -(6 + 8) = -14
−37+(−20)=−(37+20)=−57-37 + (-20) = -(37 + 20) = -57
−853+(−247)=−(853+247)=−1100-853 + (-247) = -(853 + 247) = -1100

Cazul III — a≥0, b<0a \ge 0, \ b \lt 0​

Suma numerelor întregi de semne contrare este numărul SS egal cu:

S={+(∣a∣−∣b∣),daca˘ ∣a∣>∣b∣0,daca˘ ∣a∣=∣b∣−(∣b∣−∣a∣),daca˘ ∣a∣<∣b∣S = \begin{cases} + (|a| - |b|), & \text{dacă } |a| \gt |b| \\ 0, & \text{dacă } |a| = |b| \\ - (|b| - |a|), & \text{dacă } |a| \lt |b| \end{cases}
Exemple

12+(−5)=+(∣12∣−∣−5∣)=+7=712 + (-5) = +(|12| - |-5|) = +7 = 7
−18+(+6)=−(∣−18∣−∣+6∣)=−12-18 + (+6) = -(|-18| - |+6|) = -12
−142+396=+(∣396∣−∣−142∣)=+254-142 + 396 = +(|396| - |-142|) = +254

Reprezentare vizuală (model cu pătrățele)​

Observație

Putem reprezenta +1+1 printr-un pătrățel roșu și −1-1 printr-un pătrățel albastru.
Deoarece 1+(−1)=01 + (-1) = 0, un pătrățel roșu anulează unul albastru.

Exemple

+12+(+4)=+16+12 + (+4) = +16
(−7)+(−3)=−10(-7) + (-3) = -10
+7+(−5)=+2+7 + (-5) = +2
−8+(+5)=−3-8 + (+5) = -3

2. Proprietățile adunării numerelor întregi​

Fie a,b,c∈Za, b, c \in \mathbb{Z}

  1. Asociativitate:
    (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)
    Exemplu:
    (−17+3)+(−2)=−17+[3+(−2)]=−17(-17 + 3) + (-2) = -17 + [3 + (-2)] = -17

  2. Comutativitate:
    a+b=b+aa + b = b + a
    Exemplu:
    −32+45=45+(−32)=13-32 + 45 = 45 + (-32) = 13

  3. Element neutru:
    a+0=0+a=aa + 0 = 0 + a = a
    Exemplu:
    +35+0=0+(+35)=35+35 + 0 = 0 + (+35) = 35

  4. Element opus:
    Fiecare număr întreg aa are un opus −a-a astfel încât:
    a+(−a)=(−a)+a=0a + (-a) = (-a) + a = 0
    Exemplu:
    35+(−35)=−35+35=035 + (-35) = -35 + 35 = 0

Exerciții​

  1. Calculați:

    −8+12+(−7)+(+9)+(−11)+(−4)+6=?-8 + 12 + (-7) + (+9) + (-11) + (-4) + 6 = ?

    Rezolvare: [−8+(−7)+(−11)+(−4)]+[12+9+6]=−30+27=−3[-8 + (-7) + (-11) + (-4)] + [12 + 9 + 6] = -30 + 27 = -3

  2. Calculați:

    −17+35+(−9)+(−35)+17=?-17 + 35 + (-9) + (-35) + 17 = ?

    Rezolvare: −17+17+35+(−35)+(−9)=0+0+(−9)=−9-17 + 17 + 35 + (-35) + (-9) = 0 + 0 + (-9) = -9

3. Scăderea numerelor întregi​

Definiție

Diferența numerelor întregi aa și bb este egală cu suma dintre aa și opusul lui bb:

a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)
Exemple

−8−9=−8+(−9)=−17-8 - 9 = -8 + (-9) = -17
16−(−7)=16+(+7)=2316 - (-7) = 16 + (+7) = 23
−18−4=−18+(−4)=−22-18 - 4 = -18 + (-4) = -22

4. Reguli de desfacere a parantezelor​

Regula 1​

Dacă în fața parantezei se află semnul „+” sau niciun semn,
se elimină paranteza, iar termenii din interior se scriu cu aceleași semne.

Exemplu
(−34+28−17)+(+53−25+17)=−34+28−17+53−25+17=+22(-34 + 28 - 17) + (+53 - 25 + 17) = -34 + 28 - 17 + 53 - 25 + 17 = +22

Regula 2​

Dacă în fața parantezei se află semnul „–”,
se elimină paranteza, iar toți termenii din interior își schimbă semnul.

Exemplu
24−(+28−31+12)=24−28+31−12=1524 - (+28 - 31 + 12) = 24 - 28 + 31 - 12 = 15
© Proprietate intelectuala Edumat58