C24 - Ridicarea la putere a fracțiilor ordinare

---

Ridicarea la putere a unei fracții

O fracție se ridică la putere ridicând la putere atât numărătorul, cât și numitorul, la acea putere:

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Exemplu: $\left( \dfrac{2}{5} \right)^2 = \dfrac{2^2}{5^2} = \dfrac{4}{25}$

Reguli de calcul

Pentru orice numere naturale nenule $a, b, c, d, m, n$ se verifică următoarele relații:

1. Înmulțirea puterilor cu aceeași bază

Pentru a înmulți două puteri cu aceeași bază, se păstrează baza și se adună exponenții:

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^m \cdot \left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{m+n}$

Exemplu: $\left( \dfrac{5}{2} \right)^3 \cdot \left( \dfrac{5}{2} \right)^4 = \left( \dfrac{5}{2} \right)^{3+4} = \left( \dfrac{5}{2} \right)^7$

---

2. Împărțirea puterilor cu aceeași bază

Pentru a împărți două puteri cu aceeași bază, se păstrează baza și se scad exponenții ($m \ge n$):

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^m : \left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{m-n}$

Exemplu: $\left( \dfrac{4}{5} \right)^7 : \left( \dfrac{4}{5} \right)^4 = \left( \dfrac{4}{5} \right)^{7-4} = \left( \dfrac{4}{5} \right)^3$

---

3. Puterea unei puteri

Pentru a ridica o putere la o altă putere, se păstrează baza și se înmulțesc exponenții:

$\left[ \left( \dfrac{a}{b} \right)^m \right]^n = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{m \cdot n}$

Exemple:

• $\left[ \left( \dfrac{2}{5} \right)^2 \right]^5 = \left( \dfrac{2}{5} \right)^{2 \cdot 5} = \left( \dfrac{2}{5} \right)^{10}$
• $\left[ \left( \dfrac{11}{101} \right)^{99} \right]^0 = \left( \dfrac{11}{101} \right)^{99 \cdot 0} = \left( \dfrac{11}{101} \right)^0 = 1$

---

4. Puterea unui produs

Pentru a ridica un produs la o putere, se distribuie exponentul fiecărui factor:

$\left( \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} \right)^n = \left( \dfrac{a}{b} \right)^n \cdot \left( \dfrac{c}{d} \right)^n$

Exemplu: $\left( \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{7} \right)^3 = \left( \dfrac{2}{3} \right)^3 \cdot \left( \dfrac{5}{7} \right)^3$

Produsul a două puteri cu același exponent

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n \cdot \left( \dfrac{c}{d} \right)^n = \left( \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} \right)^n$

---

5. Puterea unui cât

Pentru a ridica un cât la o putere, se distribuie exponentul fiecărui factor al câtului:

$\left( \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} \right)^n = \left( \dfrac{a}{b} \right)^n : \left( \dfrac{c}{d} \right)^n$

Exemplu: $\left( \dfrac{4}{9} : \dfrac{2}{7} \right)^5 = \left( \dfrac{4}{9} \right)^5 : \left( \dfrac{2}{7} \right)^5$

Câtul a două puteri cu același exponent

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n : \left( \dfrac{c}{d} \right)^n = \left( \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} \right)^n$

Exemplu: $\left( \dfrac{3}{13} \right)^6 : \left( \dfrac{5}{13} \right)^6 = \left( \dfrac{3}{13} : \dfrac{5}{13} \right)^6 = \left( \dfrac{3}{13} \cdot \dfrac{13}{5} \right)^6 = \left( \dfrac{3}{5} \right)^6$

---