G3 - Distanţa dintre două puncte

---

Ce este distanța dintre două puncte?

Definiție

Distanța dintre două puncte $A$ și $B$ este egală cu lungimea segmentului $[AB]$ care le unește.

Distanța dintre $A$ și $B$ se notează la fel cu lungimea segmentului:

$$AB \quad \text{sau} \quad d(A, B)$$

Observație

• Distanța este întotdeauna un număr pozitiv (sau $0$).
• Distanța de la un punct la el însuși este $0$: $\;d(A, A) = 0$.
• Distanța nu depinde de ordinea punctelor: $\;AB = BA$.

---

Măsurarea distanței cu rigla

Pentru a măsura distanța dintre două puncte de pe o foaie, folosim rigla gradată:

Așezăm rigla astfel încât punctul $A$ să fie în dreptul gradației $2$, iar punctul $B$ în dreptul gradației $7$. Distanța este diferența dintre cele două citiri:

$$AB = 7 - 2 = 5\,cm$$

Sfat practic

Putem așeza rigla și cu gradația $0$ exact în punctul $A$ — atunci distanța se citește direct în dreptul punctului $B$.

---

Distanțe pe o dreaptă (puncte coliniare)

Când trei puncte sunt coliniare (se află pe aceeași dreaptă), distanțele dintre ele se pot aduna sau scădea.

Considerăm punctul $C$ situat între $A$ și $B$:

Regula adunării distanțelor

Dacă punctul $C$ se află între $A$ și $B$, atunci:

$$AC + CB = AB$$

De aici putem afla oricare dintre cele trei distanțe, dacă le cunoaștem pe celelalte două:

$$AC = AB - CB \qquad CB = AB - AC$$

Exemplu rezolvat

Punctele $A$, $C$, $B$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AC = 4\,cm$ și $CB = 9\,cm$. Cât este $AB$?

Cum $C$ este între $A$ și $B$:

$$AB = AC + CB = 4 + 9 = 13\,cm$$

Exemplu rezolvat

Punctele $A$, $C$, $B$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB = 20\,cm$ și $AC = 12\,cm$. Cât este $CB$?

$$CB = AB - AC = 20 - 12 = 8\,cm$$

Atenție la ordinea punctelor!

Regula $AC + CB = AB$ este valabilă doar dacă $C$ se află între $A$ și $B$. Dacă punctele sunt în altă ordine pe dreaptă, relația se schimbă.

De exemplu, dacă ordinea este $A,\,B,\,C$ (deci $B$ este între $A$ și $C$), atunci $AB + BC = AC$.

---

Calcule cu distanțe

Exemplu rezolvat

Pe o dreaptă, în ordinea $A,\, M,\, B$, avem $AM = 2x$ și $MB = x + 5$ (în cm). Știind că $AB = 17\,cm$, află $x$.

Cum $M$ este între $A$ și $B$:

$$AM + MB = AB$$$$2x + (x + 5) = 17$$$$3x + 5 = 17 \;\Rightarrow\; 3x = 12 \;\Rightarrow\; x = 4$$

Verificare: $AM = 2 \cdot 4 = 8\,cm$, $MB = 4 + 5 = 9\,cm$, iar $8 + 9 = 17\,cm$. ✓

Exemplu rezolvat

Pe o dreaptă se află punctele $A$, $B$, $C$ în această ordine, cu $AB = 6\,cm$ și $BC = 10\,cm$. Cât este distanța $AC$?

Cum $B$ este între $A$ și $C$:

$$AC = AB + BC = 6 + 10 = 16\,cm$$

---