Skip to main content

C23.1 - Înumlțirea fracțiilor ordinare

Înmulțirea a două fracții ordinare​

Înmulțirea a două fracții ordinare se efectuează înmulțind numărătorii între ei și numitorii între ei:

ab⋅cd=a⋅cb⋅d\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}

Simplificarea

Dacă este posibil, rezultatul se simplifică. Simplificarea se poate face și înainte de înmulțire. Se simplifică totdeauna un numărător cu un numitor.

Exemplu (simplificare la final):

56⋅38=5⋅36⋅8=15(348=516\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 8} = \dfrac{15^{(3}}{48} = \dfrac{5}{16}

Exemplu (simplificare pe parcurs):

562⋅318=5⋅12⋅8=516\dfrac{5}{\underset{2}{\cancel{6}}} \cdot \dfrac{\cancel{3}^1}{8} = \dfrac{5 \cdot 1}{2 \cdot 8} = \dfrac{5}{16}

Spunem: 3 și 6 se simplifică prin 3. În locul lui 3 rămâne 1, iar în locul lui 6 rămâne 2.

Înmulțirea între un număr natural și o fracție​

Se efectuează scriind numărul natural ca fracție cu numitorul 1:

n⋅ab=n1⋅ab=n⋅a1⋅b=n⋅abn \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{n}{1} \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \cdot a}{1 \cdot b} = \dfrac{n \cdot a}{b}

Exemplu: 3⋅57=31⋅57=3⋅51⋅7=1573 \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{3 \cdot 5}{1 \cdot 7} = \dfrac{15}{7}

Proprietățile înmulțirii​

Deoarece înmulțirea fracțiilor ordinare se reduce la înmulțiri între numere naturale, toate proprietățile înmulțirii de la numerele naturale rămân adevărate:

  1. Comutativitatea: Factorii pot fi înmulțiți în orice ordine. ab⋅cd=cd⋅ab\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{a}{b}

  2. Asociativitatea: Factorii pot fi grupați în moduri diferite. (ab⋅cd)⋅nm=ab⋅(cd⋅nm)\left( \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} \right) \cdot \dfrac{n}{m} = \dfrac{a}{b} \cdot \left( \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{n}{m} \right)

  3. Element neutru: Numărul 1 nu schimbă rezultatul înmulțirii. ab⋅1=1⋅ab=ab\dfrac{a}{b} \cdot 1 = 1 \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}

  4. Distributivitatea față de adunare (scădere): nm⋅(ab+cd)=nm⋅ab+nm⋅cd\dfrac{n}{m} \cdot \left( \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \right) = \dfrac{n}{m} \cdot \dfrac{a}{b} + \dfrac{n}{m} \cdot \dfrac{c}{d}

    nm⋅(ab−cd)=nm⋅ab−nm⋅cd\dfrac{n}{m} \cdot \left( \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} \right) = \dfrac{n}{m} \cdot \dfrac{a}{b} - \dfrac{n}{m} \cdot \dfrac{c}{d}

prof. ing. BRIȘAN Andrei-Sebastian