G4 - Mijlocul unui segment și simetricul unui punct

față de un punct

---

Mijlocul unui segment

Definiție

Mijlocul unui segment $[AB]$ este punctul $M$ situat pe segment, egal depărtat de capetele acestuia.

Altfel spus, $M$ împarte segmentul $[AB]$ în două segmente egale:

$$AM = MB$$

Liniuțele albastre marchează faptul că cele două jumătăți sunt congruente (au aceeași lungime).

Proprietate fundamentală

Dacă $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$, atunci fiecare jumătate este egală cu jumătatea întregului segment:

$$AM = MB = \frac{AB}{2}$$

Reciproc, lungimea întregului segment este dublul unei jumătăți:

$$AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot MB$$

Observație

Un segment are un singur mijloc. Mijlocul se află întotdeauna între cele două capete ale segmentului.

Exemplu rezolvat

Punctul $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$, iar $AB = 18\,cm$. Cât este $AM$?

Mijlocul împarte segmentul în două părți egale, fiecare egală cu jumătatea lungimii:

$$AM = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9\,cm$$

Exemplu rezolvat

Punctul $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$ și $AM = 7\,cm$. Cât este $AB$?

Lungimea întregului segment este dublul jumătății:

$$AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 7 = 14\,cm$$

---

Simetricul unui punct față de un punct

Pornim de la o întrebare simplă: dat fiind un punct $A$ și un alt punct $O$, există un punct $A'$ astfel încât $O$ să fie exact la mijloc între $A$ și $A'$?

Definiție

Simetricul punctului $A$ față de punctul $O$ este punctul $A'$ pentru care $O$ este mijlocul segmentului $[AA']$.

Punctul $O$ se numește centru de simetrie.

Din definiție rezultă imediat că:

$$OA = OA'$$

iar punctele $A$, $O$ și $A'$ sunt coliniare (se află pe aceeași dreaptă), cu $O$ între $A$ și $A'$.

De reținut

• $A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$ $\;\Longleftrightarrow\;$ $O$ este mijlocul lui $[AA']$.
• Relația este reciprocă: dacă $A'$ este simetricul lui $A$, atunci $A$ este simetricul lui $A'$ (față de același $O$).
• Simetricul punctului $O$ față de el însuși este chiar $O$.

Cum construim simetricul?

Pentru a construi simetricul lui $A$ față de $O$:

1. Trasăm semidreapta $AO$ și o prelungim dincolo de $O$.
2. Măsurăm distanța $OA$ și o reportăm de cealaltă parte a lui $O$.
3. Punctul obținut, la aceeași distanță, este $A'$.

Exemplu rezolvat

Punctul $O$ este mijlocul segmentului $[AA']$ și $OA = 5\,cm$. Cât este lungimea segmentului $[AA']$?

Deoarece $O$ este mijloc, avem $OA = OA' = 5\,cm$, deci:

$$AA' = OA + OA' = 5 + 5 = 2 \cdot 5 = 10\,cm$$

---

Calcule cu mijloc și simetric

Multe probleme combină mijlocul, simetricul și lungimile de segmente. Cheia este să reținem mereu cele două relații:

$$\boxed{AM = MB = \dfrac{AB}{2}} \qquad \boxed{AB = 2 \cdot AM}$$

Exemplu rezolvat

Pe o dreaptă se consideră punctele $A$, $O$, $B$ astfel încât $O$ este mijlocul lui $[AB]$. Știind că $AO = 2x + 1$ și $OB = x + 4$ (în centimetri), află $x$ și lungimea $AB$.

Cum $O$ este mijloc, cele două jumătăți sunt egale:

$$AO = OB \;\Rightarrow\; 2x + 1 = x + 4$$$$2x - x = 4 - 1 \;\Rightarrow\; x = 3$$

Atunci $AO = 2 \cdot 3 + 1 = 7\,cm$, iar:

$$AB = 2 \cdot AO = 2 \cdot 7 = 14\,cm$$

Exemplu rezolvat

Punctul $C$ este simetricul lui $A$ față de $B$, iar $AB = 6\,cm$. Pe segment se mai ia mijlocul $M$ al lui $[AB]$. Calculează $MC$.

Cum $C$ este simetricul lui $A$ față de $B$, $B$ este mijlocul lui $[AC]$, deci:

$$BC = AB = 6\,cm \;\Rightarrow\; AC = 12\,cm$$

$M$ este mijlocul lui $[AB]$, deci:

$$MB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\,cm$$

Punctele sunt în ordinea $A,\, M,\, B,\, C$ pe dreaptă, deci:

$$MC = MB + BC = 3 + 6 = 9\,cm$$

---