C15.3 - Metoda figurativă

---

Definiție

Metoda figurativă (sau grafică) este o metodă sugestivă prin care o problemă poate fi „tradusă” în limbaj matematic.
Reprezentarea se face, de obicei, prin segmente de dreaptă, considerate părți egale.

Prin această metodă se pot afla numere atunci când se cunosc:

• suma și diferența,
• suma și câtul, sau
• diferența și câtul lor.

---

Exemple

---

Exemplul 1 — Când se cunosc suma și diferența

Problema:

Oana are 87 baloane colorate: roșii și verzi.
Numărul baloanelor roșii este cu 17 mai mare decât al celor verzi.
Câte baloane de fiecare fel are Oana?

Rezolvare:

Suma este $87$, diferența este $17$.

Reprezentăm grafic prin segmente egale:

$$\text{[verzi]}\\[15pt] \text{[roșii]} = \text{[verzi]} + 17$$

Avem două părți egale. Calculăm suma părților egale:

$$87 - 17 = 70$$

O parte este:

$$70 : 2 = 35$$

De unde:

• număr baloane verzi: $35$
• număr baloane roșii: $35 + 17 = 52$

R: 35 baloane verzi, 52 baloane roșii.

---

Exemplul 2 — Când se cunosc câtul și suma

Problema:

Suma a trei numere este 96.
Aflați numerele știind că primul este de două ori mai mare decât al doilea,
iar al treilea este de cinci ori mai mare decât primul.

Rezolvare:

Suma celor trei numere este 96.
Câtul dintre primul și al doilea este $2$,
iar câtul dintre al treilea și al doilea este $5$.

Reprezentăm grafic astfel:

Total părți egale: 8

Avem în total $8$ părți egale.
O parte este:

$$96 : 8 = 12$$

De unde:

• primul: $2 × 12 = 24$
• al doilea: $12$
• al treilea: $5 × 12 = 60$

R: Numerele sunt 24, 12, 60.

---

Exemplul 3 — Când se cunosc câtul și diferența

Problema:

Peste 2 ani tatăl va fi de trei ori mai în vârstă ca fiul.
Acum 2 ani, tatăl era cu 28 ani mai în vârstă ca fiul.
Ce vârstă are fiecare în prezent?

Rezolvare:

O observație esențială: diferența de vârstă este aceeași în trecut, prezent și viitor.

Reprezentăm vârstele peste 2 ani:

$$\text{Fiul} = 1\ \text{parte}, \quad \text{Tatăl} = 3\ \text{părți}$$

Diferența: $2$ părți = 28
O parte este:

$$28 : 2 = 14$$

Peste 2 ani:

• fiul: 14 ani
• tatăl: $14 × 3 = 42$ ani

Așadar, în prezent:

• fiul: $14 - 2 = 12$ ani
• tatăl: $42 - 2 = 40$ ani

R: Tatăl are 40 ani, fiul are 12 ani.

---

Exemplul 4 — Când se cunosc relații de tip împărțire cu rest

Problema:

Suma a trei numere este 92.
Știind că, împărțind al doilea număr la primul, obținem câtul 2 și restul 5,
iar al treilea este de două ori mai mare decât al doilea,
aflați numerele.

Rezolvare:

Folosind teorema împărțirii cu rest, avem:

$$\text{al doilea} = 2 × \text{primul} + 5$$ $$\text{al treilea} = 2 × \text{al doilea} = 4 × \text{primul} + 10$$

Reprezentăm grafic:

$$\text{Primul} = 1\ \text{parte}, \quad \text{Al doilea} = 2\ \text{părți} + 5, \quad \text{Al treilea} = 4\ \text{părți} + 10$$

Total „părți egale” folosite: 7

Total: $7$ părți egale.
Aflăm suma părților egale:

$$7 \text{ părți} = 92 - (5 + 10) = 77$$ $$1 \text{ parte} = 11$$

Astfel:

• primul: $11$
• al doilea: $2 × 11 + 5 = 27$
• al treilea: $4 × 11 + 10 = 54$

R: Numerele sunt 11, 27, 54.

---