C15.1 - Metoda reducerii la unitate

---

Definitie

Metoda reducerii la unitate este una din metodele aritmetice utile de rezolvare a problemelor.

Algoritmul de rezolvare al acestui tip de probleme constă în aflarea mărimii cerute printr-o fază intermediară de comparare cu unitatea.

În acest sens, trebuie să avem mare atenție în stabilirea dependenței între mărimi.

---

Tipuri de probleme

Putem întâlni două tipuri de probleme:

1. Tipul I:
   Dacă o mărime crește (scade) de $n$ ori, atunci și cealaltă mărime crește (scade) de $n$ ori.

2. Tipul II:
   Dacă o mărime crește (scade) de $n$ ori, atunci cealaltă mărime scade (crește) de $n$ ori.

---

Exemple

Tipul I — Dependență direct proporțională

„Dacă o mărime crește (scade) de $n$ ori, atunci și cealaltă mărime crește (scade) de $n$ ori.”

---

Exemplul 1

Problema:

Dacă 6 kg de mere costă 18 lei, aflați cât costă 2 kg de mere de aceeași calitate.

Vom rezolva problema în două moduri.

I. Rezolvarea cu plan

Aflăm mai întâi cât costă 1 kg de mere și apoi cât costă 2 kg de mere, de aceeași calitate.

Observăm că dacă prima mărime (cantitatea de mere) scade, a doua mărime (suma plătită) trebuie să scadă și ea.

a) Cât costă 1 kg de mere?

$$18 \text{ lei} : 6 = 3 \text{ lei}$$

Deci 1 kg de mere costă 3 lei.

b) Cât costă 2 kg de mere?

$$2 \times 3 = 6 \text{ lei}$$

R: 6 lei

---

II. Rezolvare cu metoda reducerii la unitate

Cantitate	Preț
6 kg mere	18 lei
1 kg mere	$18 : 6 = 3$ lei
2 kg mere	$2 \times 3 = 6$ lei

R: 6 lei

Observatie

Cantitatea de mere scade de 3 ori (de la 6 kg la 2 kg),
deci pentru o cantitate de 3 ori mai mică, și suma plătită trebuie să fie de 3 ori mai mică:
$18 : 3 = 6$ lei.

---

Exemplul 2

Problema:

Inima unui om bate de aproximativ 210 ori în 3 minute.
De câte ori bate într-o oră?

I. Rezolvarea cu plan

a) De câte ori bate într-un minut?

$$210 : 3 = 70 \text{ bătăi/minut}$$

b) De câte ori bate într-o oră (60 minute)?

$$70 \times 60 = 4200 \text{ bătăi}$$

R: 4200 bătăi

II. Rezolvare cu metoda reducerii la unitate

Timp	Bătăi
3 minute	210
1 minut	$210 : 3 = 70$
60 minute	$70 \times 60 = 4200$

R: 4200 bătăi

Observatie

Dacă a doua mărime crește (de la 3 minute la 60 minute — adică de 20 de ori),
atunci și prima mărime trebuie să crească de 20 de ori.

---

Tipul II — Dependență invers proporțională

„Dacă o mărime crește (scade) de $n$ ori, atunci cealaltă mărime scade (crește) de $n$ ori.”

---

Exemplul 3

Problema:

Cinci robinete care curg simultan, cu același debit, umplu un bazin de apă în 12 ore.
În cât timp vor umple bazinul 4 robinete (cu același debit)?

I. Rezolvarea cu plan

a) În câte ore ar umple bazinul un singur robinet?

$$12 \times 5 = 60 \text{ ore}$$

b) În câte ore vor umple bazinul 4 robinete?

$$60 : 4 = 15 \text{ ore}$$

R: 15 ore

II. Rezolvare prin metoda reducerii la unitate

Robinete	Timp
5 robinete	12 ore
1 robinet	$12 \times 5 = 60$ ore
4 robinete	$60 : 4 = 15$ ore

R: 15 ore

---

Exemplul 4

Problema:

Știind că 30 de tractoare ară o suprafață de teren în 6 ore, află în cât timp ară aceeași suprafață 18 tractoare.

I. Rezolvarea cu plan

1. În cât timp ară un singur tractor terenul?

$$30 \times 6 = 180 \text{ ore}$$

2. În cât timp vor ara terenul 18 tractoare?

$$180 : 18 = 10 \text{ ore}$$

R: 10 ore

II. Rezolvare prin metoda reducerii la unitate

Tractoare	Timp
30 tractoare	6 ore
1 tractor	$30 \times 6 = 180$ ore
18 tractoare	$180 : 18 = 10$ ore

R: 10 ore

---