C10.3 - Ordinea efectuării operațiilor a fracțiilor algebrice

---

Ordinea efectuării operațiilor cu fracții algebrice

Ordinea efectuării operațiilor la fracții algebrice este aceeași ca la fracțiile numerice.

Proprietate

Adunarea și scăderea sunt operații de ordinul I, înmulțirea și împărțirea de ordinul II, iar puterile de ordinul III.

I. Dacă într-o expresie apar operații de ordine diferite, atunci:

• Operațiile de ordinul III
• Operațiile de ordinul II
• Operațiile de ordinul I

II. Dacă într-o expresie avem paranteze, ordinea este:

• Paranteza rotundă $( \quad )$
• Paranteza dreaptă $[ \quad ]$
• Paranteza acoladă $\{ \quad \}$

III. Dacă într-o expresie algebrică avem numai operații de ordinul I (adunare și scădere), acestea se pot efectua în același timp.

Exemplu

cerințǎ

Efectuați:

$$\frac{3}{x+5} - \frac{2}{x-5} + \frac{20}{x^2-25}$$

Deoarece avem doar adunare/scădere → aducem la același numitor:

$$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$$ $$\frac{3}{x+5} = \frac{3(x-5)}{(x-5)(x+5)}, \quad \frac{2}{x-5} = \frac{2(x+5)}{(x-5)(x+5)}$$

Scriem:

$$\frac{3(x-5) - 2(x+5) + 20}{(x-5)(x+5)}$$

Efectuăm calculele la numărător:

$$\frac{3x - 15 - 2x - 10 + 20}{(x-5)(x+5)} = \frac{x - 5}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5}$$

---

IV. Dacă într-o expresie avem numai operații de ordinul II (înmulțiri și împărțiri), se transformă împărțirea în înmulțire și apoi se efectuează înmulțirile.

Exemplu

cerințǎ

Calculați:

$$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 7x + 10} : \frac{x^2 - 25}{3x + 6} \cdot \frac{x+5}{9}$$

Transformăm împărțirea în înmulțire:

$$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 7x + 10} \cdot \frac{3x+6}{x^2 - 25} \cdot \frac{x+5}{9}$$

Descompunem și simplificăm:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-5)} \cdot \frac{3(x+2)}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{x+5}{9} = 3$$

---

V. Dacă într-o expresie există operații de ordin diferit, se efectuează în ordinea:

De Retinut

III → II → I

Exemplu

$$\frac{x}{x^2 - 1} \cdot \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 + \frac{x}{x-2} \cdot \frac{2x-4}{x-1} - 1$$

Reduceri, amplificări și calcule succesive:

$$\frac{x(x+1) + 2x - (x-1)}{x-1} = \frac{(x+1)^2}{x-1}$$

---

VI. Dacă o expresie conține paranteze → aplicăm regula II, iar în interior regulile III, IV, V.

Exemplu

$$\left[ \frac{1}{x^2-2x+1} + \frac{x^2+x}{2x+1} \left( \frac{1}{x^2-x} + \frac{1}{x^2-1} \right) \right] : \frac{1}{x-1}$$

După transformări, aducere la același numitor și simplificări succesive:

Rezultatul final este:

$$\frac{x}{x-1}$$

---