C10.2 - Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a fracțiilor algebrice

---

Înmulțirea fracțiilor algebrice

Definiție 1

Operația prin care se obține produsul a două sau mai multe fracții algebrice se numește înmulțire.

Observații

1. Înainte de a înmulți fracțiile algebrice, acestea se pot simplifica (dacă este cazul).
2. La înmulțirea fracțiilor algebrice se aplică aceleași proprietăți ca și la înmulțirea fracțiilor numerice.

Exemplul 1

$$\frac{5x}{3y^2} \cdot \frac{18y^3}{10x^2} = \frac{6y}{2x} = \frac{3y}{x}$$

Am simplificat pe prima diagonală cu $5x$ și pe a doua diagonală cu $3y^2$, apoi am înmulțit și am simplificat cu 2.

---

Exemplul 2

$$\frac{x^3}{5x + 10} \cdot \frac{30}{3x^2} = \frac{30x^3}{5(x+2)\cdot 3x^2} = \frac{2x}{x+2}$$

---

Exemplul 3

$$\frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 - 36} \cdot \frac{x + 6}{1 - x^2} = \frac{(x-1)(x-6)}{(x-6)(x+6)} \cdot \frac{x+6}{-(x-1)(x+1)} = -\frac{1}{x+1}$$

---

Împărțirea fracțiilor algebrice

Definiție 2

Operația prin care se obține catul a două fracții algebrice se numește împărțire.

Observații

1. Pentru a calcula câtul a două rapoarte algebrice, înmulțim primul raport cu inversul celui de-al doilea, apoi se pot simplifica (dacă este cazul).
2. Se aplică aceleași proprietăți ca la împărțirea fracțiilor numerice.

Exemplul 1

$$\frac{x^2}{3} : \frac{x^2}{6} = \frac{x^2}{3} \cdot \frac{6}{x^2} = 2$$

---

Exemplul 2

$$\frac{12a^3 b}{5c^2} : \frac{3a^2 b}{10c} = \frac{12a^3 b}{5c^2} \cdot \frac{10c}{3a^2 b} = \frac{4a}{c} \cdot \frac{2}{1} = \frac{8a}{c}$$

---

Exemplul 3

$$\frac{3x - 2x^2}{2x + 2} : \frac{9 - 4x^2}{x^2 - 1} = \frac{x(3-2x)}{2(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(3-2x)(3+2x)} = \frac{x(x-1)}{2(2x+3)}$$

---

Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice

Definiție 3

A ridica la putere o fracție algebrică înseamnă a o înmulți cu ea însăși de atâtea ori cât indică exponentul.

Observații

1. La ridicarea la putere a unui raport algebric, ridicăm atât numărătorul cât și numitorul la puterea $n$.
2. Reguli identice cu ridicarea la putere pentru fracțiile numerice.

Exemplul 1

$$\left(\frac{1}{2x}\right)^2 = \frac{1^2}{(2x)^2} = \frac{1}{4x^2}$$

---

Exemplul 2

$$\left(\frac{1}{2x}\right)^{-2} = \left(\frac{2x}{1}\right)^2 = 4x^2$$

---

Exemplul 3

$$\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{-3} = \left(\frac{x-2}{x+1}\right)^3$$

De Retinut

Dacă exponentul este un număr negativ, atunci se ridică la putere inversa fracției algebrice.

---