C10.1 - Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice

---

Definitie

Suma (diferența) a două fracții algebrice este tot o fracție algebrică.

• Adunarea (scăderea) a două fracții algebrice care au același numitor se efectuează adunând (scăzând) numărătorii și păstrând numitorul.

Dacă $A, B, P$ sunt expresii algebrice cu $P \neq 0$, atunci:

$$\frac{A}{P} + \frac{B}{P} = \frac{A+B}{P} \quad \text{și} \quad \frac{A}{P} - \frac{B}{P} = \frac{A-B}{P}$$

Exemple

$$\frac{5x-3}{4} + \frac{x}{4} + \frac{x^2+12}{4} = \frac{5x-3+x+x^2+12}{4} = \frac{x^2 + 6x + 9}{4} = \frac{(x+3)^2}{4}$$

$$\frac{x-3}{x+2} + \frac{2x-1}{x+2} = \frac{x-3 + (2x-1)}{x+2} = \frac{3x - 4}{x+2}$$

$$\frac{2x-3}{x+3} - \frac{x-1}{x+3} = \frac{2x-3 - (x-1)}{x+3} = \frac{x-2}{x+3}$$

---

Metoda de Rezolvare

Proprietati

Dacă fracțiile algebrice nu au același numitor, pentru adunare sau scădere, se aduc la același numitor prin amplificare sau simplificare.

Pasul 1. Se descompun numitorii
Pasul 2. Se află numitorul comun
Pasul 3. Se aduc fracțiile la același numitor prin amplificare, apoi se efectuează calculele.

De Retinut

Dacă $A, B, P, Q$ sunt expresii algebrice cu $P \neq 0, Q \neq 0$, atunci:

$$\frac{A}{P} + \frac{B}{Q} = \frac{AQ + BP}{PQ}$$

Exemple

$$\frac{2x+7}{3x} + \frac{x-3}{2x^2} + \frac{4x+5}{6}$$

Amplificăm astfel încât toate să aibă același numitor $6x^2$:

$$\frac{2x+7}{3x} = \frac{2x(2x+7)}{6x^2}$$ $$\frac{x-3}{2x^2} = \frac{3(x-3)}{6x^2}$$ $$\frac{4x+5}{6} = \frac{x^2(4x+5)}{6x^2}$$

Efectuăm adunarea:

$$\frac{2x(2x+7) + 3(x-3) + x^2(4x+5)}{6x^2}$$

Se continuă dezvoltarea și simplificarea numerelor/termenilor după caz.

$$\frac{2x(2x+7) + 3(x-3) + x^2(4x+5)}{6x^2} = \frac{4x^2 + 14x + 3x - 9 + 4x^3 + 5x^2}{6x^2} = \frac{4x^3 + 9x^2 + 17x - 9}{6x^2}$$

---

$$\frac{x-1}{3x+3} + \frac{x}{x^2 -1}$$

Descompuneri:

• $3x+3 = 3(x+1)$
• $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

Amplificăm:

$$\frac{x-1}{3(x+1)} + \frac{x}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2 + 3x}{3(x+1)(x-1)}$$

Dezvoltăm:

$$(x-1)^2 + 3x = x^2 - 2x + 1 + 3x = x^2 + x + 1$$

Forma finală:

$$\frac{x^2 + x + 1}{3(x+1)(x-1)}$$

---