C16 - Apartenența la o mulțime

---

Noțiuni de bază

Definiție 1

Un element $a$ aparține unei mulțimi $A$ dacă forma canonică a lui $a$ este unul dintre elementele care definesc mulțimea $A$. Notăm: $a \in A.$

Definiție 2

Un element $a$ nu aparține unei mulțimi $A$ dacă forma canonică a lui $a$ nu este unul dintre elementele care definesc mulțimea $A$. Notăm: $a \notin A.$

---

Fie următoarele mulțimi de numere:

• Mulțimea numerelor naturale: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$
• Mulțimea numerelor întregi: $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$
• Mulțimea numerelor raționale: $\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\right\}$
• Mulțimea numerelor iraționale: $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \{\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e, \dots\}$
• Mulțimea numerelor reale: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})$

---

Exemple de apartenență la mulțimi

1. $5 \in \mathbb{N}$, deoarece 5 este un număr natural.
2. $-3 \in \mathbb{Z}$, deoarece -3 este un număr întreg.
3. $\frac{2}{3} \in \mathbb{Q}$, deoarece $\frac{2}{3}$ este un număr rațional.
4. $\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, deoarece $\sqrt{2}$ este un număr irațional.
5. $-1 \notin \mathbb{N}$, deoarece -1 nu este un număr natural.
6. $\pi \notin \mathbb{Q}$, deoarece $\pi$ nu este un număr rațional.

---

Criterii de apartenență la mulțimi

• Un număr este în $\mathbb{N}$ dacă este un număr întreg pozitiv sau zero.
• Un număr este în $\mathbb{Z}$ dacă este un număr întreg (pozitiv, negativ sau zero).
• Un număr este în $\mathbb{Q}$ dacă poate fi exprimat ca o fracție a două numere întregi, cu numitor diferit de zero.
• Un număr este în $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dacă nu poate fi exprimat ca o fracție a două numere întregi (are o infinitate de zecimale, care nu se repetă).
• Un număr este în $\mathbb{R}$ dacă este fie rațional, fie irațional.

---