C14 - Operații cu numere reale (recapitulare)

---

Proprietăți de bază

cerințǎ

Pentru orice număr real $a$:

1. $\sqrt{a^2} = |a|$

2. $m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}, \quad \text{unde } a \ge 0,\; m,n\in\mathbb{R}$

3. $m\sqrt{a} - n\sqrt{a} = (m-n)\sqrt{a}, \quad \text{unde } a \ge 0,\; m,n\in\mathbb{R}$

4. $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}, \quad \text{unde } a,b \ge 0$

5. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}},\quad \text{unde } a \ge 0,\; b>0$

6. $m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{a} = mn\cdot \sqrt{a^2} = mn\cdot |a|$

7. Pentru $a\ge0,\; b>0$:

   $$\frac{\sqrt{a}}{b} = \sqrt{\frac{a}{b^2}}$$

---

Introducerea și scoaterea factorilor de sub radical

Introducerea factorilor sub radical

Pentru $a\ge0$, $b\ge0$:

• Dacă $a \ge 0$ și $b \ge 0$:

  $$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$$

• Dacă $a < 0$ și $b \ge 0$:

  $$a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$$

Scoaterea factorilor de sub radical

Pentru orice număr real $a$ și $b \ge 0$:

$$\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}$$

---

Ordinea efectuării operațiilor

Într-un exercițiu de calcul cu radicali sau alte numere reale, se respectă următoarea ordine:

1. Ridicările la putere și extragerea rădăcinii, în ordinea apariției.
2. Înmulțirile și împărțirile, în ordinea apariției.
3. Adunările și scăderile, în ordinea apariției.

---

Paranteze

Dacă exercițiul conține paranteze, se efectuează în această ordine:

1. Paranteze rotunde $(\;)$
2. Paranteze drepte $[\;]$
3. Acolade $\{\;\}$

definitie

Dacă parantezele conțin radicali care nu se pot reduce (nu sunt radicali asemenea), atunci parantezele se elimină folosind proprietatea de distributivitate:

$$a(b+c) = ab + ac$$

---

Operații cu modulul unui număr real

Modulul unui număr real $a$, notat prin $|a|$, reprezintă distanța de la numărul $a$ la originea axei reale.

Definiție

Pentru orice număr real $a$:

$$|a| = \begin{cases} a, & \text{dacă } a \ge 0 \\ -a, & \text{dacă } a < 0 \end{cases}$$

Proprietăți importante ale modulului

Modulul unui produs

$$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$$

Modulul unui cât

$$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}, \quad b \ne 0$$

Ridicarea la putere a modulului

Pentru orice exponent par (de exemplu $2, 4, 6,\dots$):

$$|a|^2 = a^2$$

Relația dintre modul și rădăcina pătrată

$$\sqrt{a^2} = |a|$$

info

Această relație este esențială în calculul cu radicali și apare frecvent în exerciții de simplificare.

Proprietatea triunghiului

Pentru orice numere reale $a$ și $b$:

$$|a + b| \le |a| + |b|$$

Proprietatea triunghiului invers

Pentru orice numere reale $a$ și $b$:

$$|a - b| \ge \bigl|\,|a| - |b|\,\bigr|$$

---