C12 - Ecuația ax+b=0

---

Definiții și noțiuni introductive

Fie ecuația:

$$a \cdot x + b = 0, \quad a, b \in \mathbb{R}$$

Definiție

• Numerele $a$ și $b$ se numesc coeficienți ai ecuației.
• Necunoscuta ecuației este $x$.
• Numărul $b$ se mai numește termenul liber al ecuației.

---

Ecuații echivalente

Definiție

Două ecuații sunt echivalente dacă au același domeniu (aceeași mulțime în care se rezolvă) și aceleași soluții.

---

Fiecare valoare (element al domeniului) pentru care se obține o egalitate se numește soluție a ecuației.

A rezolva o ecuație înseamnă a determina mulțimea $S$ a tuturor soluțiilor.

---

Etapele de rezolvare

Pentru a rezolva ecuația $a \cdot x + b = 0$:

1. Se aduce ecuația la forma standard $a \cdot x + b = 0$, unde $a, b \in \mathbb{R}$.
2. Se aplică algoritmul de rezolvare:

$$\begin{aligned} a \cdot x + b &= 0 \\ a \cdot x &= -b \\ x &= -\frac{b}{a} \end{aligned}$$

3. Se scrie mulțimea soluțiilor: $$S = \left\{ -\frac{b}{a} \right\}$$

---

Observație

Observatie

În practică, multe ecuații nu sunt scrise direct în forma $a \cdot x + b = 0$,
dar pot fi aduse la această formă prin transformări echivalente,
folosind proprietățile relației de egalitate.

---

Exemplul 1

$$7x - 3 = -3x - 4 \text{ (separăm termenii)} \\[10pt] 7x + 3x = -4 + 3 \\[10pt] 10x = -1 / : 10 \\[10pt] x = -\frac{1}{10} \\[10pt] S = \left\{ -\frac{1}{10} \right\}$$

---

Exemplul 2

$$\frac{6}{-x} = \frac{2}{9} \Rightarrow -\frac{x}{6} = \frac{9}{2} / \cdot 6 \\[10pt] -x = \frac{54}{2} = 27 / \cdot (-1) \\[10pt] x = -27 \\[10pt] S = \{-27\}$$

---