G4 - Paralelogramul

---

Definitie

Patrulaterul convex care are laturile opuse paralele se numește paralelogram.

$$AB \parallel CD, \quad BC \parallel AD$$

---

Proprietăți

1. Într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare.

$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$ $$\angle B + \angle C = 180^\circ$$ $$\angle C + \angle D = 180^\circ$$ $$\angle A + \angle D = 180^\circ$$

2. Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente.

$$\angle A \equiv \angle C, \quad \angle B \equiv \angle D$$

3. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt congruente.

$$AB = CD, \quad AD = BC$$

4. Diagonalele unui paralelogram se taie în segmente congruente (se înjumătățesc).

$$AO = OC, \quad BO = DO$$

---

Algoritmul pentru a demonstra că un patrulater convex este paralelogram

Important

Condiții suficiente ca un patrulater convex să fie paralelogram:

• Dacă are două laturi opuse paralele și congruente
• Dacă are ambele perechi de laturi opuse congruente
• Dacă are ambele perechi de laturi opuse paralele
• Dacă diagonalele se înjumătățesc
• Dacă ambele perechi de unghiuri opuse sunt congruente
• Dacă oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare
• Dacă unghiurile formate de o diagonală cu cele două perechi de laturi opuse sunt congruente

---

Aplicații

Aplicația 1

Fie paralelogramul $MNPQ$ de alături, în care măsura $\angle M$ este de $72^\circ$.
Calculăm măsurile celorlalte unghiuri.

Rezolvare:

$$\angle P = \angle M = 72^\circ$$$$\angle N = \angle Q = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$$

---

Aplicația 2

Se consideră paralelogramul $MNPQ$ de alături.
Punctul $A$ este mijlocul segmentului $MN$, iar punctul $B$ este mijlocul segmentului $PQ$.
Vom arăta că $AB \equiv MQ$ și $AB \parallel NP$.

Rezolvare:

$$MNPQ \text{ paralelogram } \Rightarrow MN \parallel PQ \Rightarrow MA \parallel QB$$$$MNPQ \text{ paralelogram } \Rightarrow MN = PQ \Rightarrow MA = \frac{MN}{2} = \frac{PQ}{2} = QB$$$$\Rightarrow MABQ \text{ paralelogram } \Rightarrow AB = MQ$$$$MNPQ \text{ paralelogram } \Rightarrow MN \parallel PQ \Rightarrow NA \parallel PB$$$$MNPQ \text{ paralelogram } \Rightarrow MN = PQ \Rightarrow NA = \frac{MN}{2} = \frac{PQ}{2} = PB$$$$\Rightarrow ANPB \text{ paralelogram } \Rightarrow AB \parallel NP$$

---