C14 - Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul

---

1. Definiție

Puterea a n-a a unui număr întreg nenul a este numărul:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}\_{n\ \text{factori}},$

unde

• a = baza,
• n = exponent, n ∈ ℕ.

cerințǎ

Se notează cu $a^n$ produsul dintre $n$ factori egali cu $a$.

Exemple

• $(+6)^2 = (+6)\cdot(+6) = +36$
• $(-2)^3 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = -8$
• $(-3)^4 = (-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3) = +81$

---

2. Observații importante

• $a^0 = 1$, pentru orice $a \in \mathbb{Z},\ a\neq 0$
  Exemplu: $(-5)^0 = 1$

• $1^n = 1$, pentru orice $n \in \mathbb{N}$

• $a^1 = a$
  Exemplu: $(-80)^1 = -80$

• $0^n = 0$, pentru orice $n \in \mathbb{N}$
  Exemplu: $0^{72} = 0$

• $0^0$ nu are sens

---

3. Semnul unei puteri

3.1. Dacă baza este pozitivă

definitie

Orice putere a unui număr pozitiv este pozitivă.

Exemplu:
$(+3)^2 = +9$

3.2. Dacă baza este negativă

• Dacă exponentul este par, rezultatul este pozitiv
  Exemplu: $(-4)^2 = +16$

• Dacă exponentul este impar, rezultatul este negativ
  Exemplu: $(-2)^5 = -32$

3.3. Atenție la notații!

cerințǎ

$(-a)^2 \neq -a^2$

• $(-a)^2 = (+a^2)$
• $-a^2 = -(a^2)$

Exemplu:
$(-5)^2 = +25$
$-5^2 = -25$

Cazuri speciale pentru $(-1)^n$

• $(-1)^n = 1$, dacă $n$ este par
• $(-1)^n = -1$, dacă $n$ este impar

---

4. Reguli de calcul cu puteri

4.1. Înmulțirea puterilor cu aceeași bază

$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$

Exemplu:
$(-3)^2 \cdot (-3)^4 = (-3)^6 = 729$

---

4.2. Împărțirea puterilor cu aceeași bază

$a^n : a^m = a^{n-m},\quad n\ge m$

Exemplu:
$(-2)^{15} : (-2)^{10} = (-2)^5 = -32$

---

4.3. Puterea unei puteri

$(a^n)^m = a^{n\cdot m}$

Exemplu:
$\left[(-2)^3\right]^2 = (-2)^6 = 64$

---

4.4. Puterea unui produs

$(a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Exemplu:
$\left[(-2)\cdot(+5)\right]^7 = (-2)^7 \cdot (+5)^7$

---

4.5. Puterea unui cât

$(a:b)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Exemplu:
$\left[(-10):(+2)\right]^8 = \dfrac{(-10)^8}{(+2)^8}$

---

5. Exemple rezolvate

Exemplul 1

Calculează: $(-2)^3 + 5^2 - (-1)^8$

Rezolvare:

• $(-2)^3 = -8$
• $5^2 = 25$
• $(-1)^8 = 1$

$-8 + 25 - 1 = 16$

---

Exemplul 2

$(-3)^5 \cdot 3^4 \cdot (-3)^6$

Aducem la aceeași bază 3:

$(-3)^5 \cdot 3^4 \cdot (-3)^6 = -3^{5+4+6} = -3^{15}$

---

Exemplul 3

$[3\cdot(-6)]^2 = (-18)^2 = 324$

---

Exemplul 4

$(-16)^3 : (-4)^3 = [(-16):(-4)]^3 = 4^3 = 64$

---

6. Compararea puterilor

Fără a calcula rezultatele:

a) $(-3)^{13}$ și $(-3)^9$

$3^{13} > 3^9$, deci
$(-3)^{13} < (-3)^9 \quad \text{(ambele negative)}$

b) $(-7)^5$ și $(-7)^4$

$(-7)^5 < 0$,
$(-7)^4 > 0$

Deci
$(-7)^5 < (-7)^4$

c) $(-5)^5$ și $(-6)^5$

Comparam bazele:
$-5 > -6$ → deci
$(-5)^5 > (-6)^5$

d) $(-11)^3$ și $9^3$

Un număr negativ vs. unul pozitiv:
$(-11)^3 < 9^3$

---

7. Fișă de lucru

1. Scrieți produsul ca putere și identificați baza și exponentul

a) $(-2)\cdot(-2)$
b) $(+4)\cdot(+4)\cdot(+4)\cdot(+4)\cdot(+4)$
c) $(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)$
d) $-8$
e) $(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)$
f) $(-10)\cdot(-10)\cdots(-10)$ (2021 factori)

---

2. Calculați

a) $(+4)^2$
b) $(-1)^3$
c) $(-2)^4$
d) $(+5)^2$
e) $(-3)^3$
f) $-8^2$
g) $(-6)^4$
h) $-7^3$
i) $(-2)^0$
j) $(-1)^{2021}$

---

3. Completați tabelul

a	n	aⁿ	–aⁿ	(–a)ⁿ
–3	2
–3	3
+2	4
+2	5
–1	6
–1	7

---

4. Scrieți

a) Numărul 4 ca putere cu baza –2
b) Numărul –8 ca putere cu baza –2
c) Numărul +16 ca putere cu exponentul +2
d) Numărul –64 ca putere cu exponentul +3
e) Numărul –1 ca putere cu exponent mai mare de 100

---

5. Scrieți rezultatele ca puteri

I.
a) $(-3)^2 \cdot (-3)^4$
b) $(-2)^3 \cdot (-2)^5 \cdot (-2)$
c) $5^0 \cdot 5 \cdot 5^3 \cdot 5^2$

II.
a) $(-8)^{12} : (-8)^{10}$
b) $(-4)^7 : (-4)^6$
c) $(-2)^{15} : (-2) : (-2)^8$

III.
a) $[(-3)^2]^4$
b) $[(-5)^3]^5$
c) $\{[(-7)^8]^{10}\}^0$

IV.
a) $(-3)^2 \cdot (-5)^2$
b) $3^4 \cdot 25^2 \cdot 4^2$
c) $(-12)^8 : (+4)^8$

---

6. Asociați calculele cu rezultatele (săgeți)

a) $(-2)^2 \cdot (-2)^3$
b) $(-3)^8 : (-3)^2$
c) $(4^3)^5$
d) $[-2\cdot(-3)^2]^3$

(Rezultatele: valori de forma $(-2)^{2+3}$, $(-3)^{8-2}$ etc.)

---

7. Determinați numerele întregi n pentru care

$\frac{n^7}{n^5} = 25$

---

8. Efectuați și exprimați rezultatele ca puteri

a) $[5^5\cdot(-5)^2]^3 : 5^{20}$
b) $[9\cdot(-3)^3]^2 : 3^8$
c) $(-2)^{35} : (-2)^{33} + (-2)^{21} : (-2)^{20}$

---

9. Comparați puterile fără a calcula rezultatele

a) $(-4)^5$ și $(-4)^6$
b) $(-2)^{71}$ și $(-3)^{71}$
c) $(-2)^{40}$ și $(-16)^{10}$
d) $(-3)^{75}$ și $(-2)^{125}$