C12.1 - Adunarea și scăderea numerelor întregi

---

1. Adunarea numerelor întregi

Definiție

Suma a două numere întregi este tot un număr întreg.

Fie $a, b \in \mathbb{Z}$.

---

Cazul I — $a, b \ge 0$

Suma numerelor întregi nenegative $a$ și $b$ este suma numerelor naturale $a$ și $b$:

$$S = a + b$$

Exemple

$(+3) + (+7) = +10 = 10$
$8 + (+73) = +81 = 81$
$+145 + (+529) = +674 = 674$

---

Cazul II — $a, b \lt 0$

Suma numerelor întregi negative $a$ și $b$ este:

$$S = -(|a| + |b|)$$

Exemple

$(-6) + (-8) = -(|-6| + |-8|) = -(6 + 8) = -14$
$-37 + (-20) = -(37 + 20) = -57$
$-853 + (-247) = -(853 + 247) = -1100$

---

Cazul III — $a \ge 0, \ b \lt 0$

Suma numerelor întregi de semne contrare este numărul $S$ egal cu:

$$S = \begin{cases} + (|a| - |b|), & \text{dacă } |a| \gt |b| \\ 0, & \text{dacă } |a| = |b| \\ - (|b| - |a|), & \text{dacă } |a| \lt |b| \end{cases}$$

Exemple

$12 + (-5) = +(|12| - |-5|) = +7 = 7$
$-18 + (+6) = -(|-18| - |+6|) = -12$
$-142 + 396 = +(|396| - |-142|) = +254$

---

Reprezentare vizuală (model cu pătrățele)

Observație

Putem reprezenta $+1$ printr-un pătrățel roșu și $-1$ printr-un pătrățel albastru.
Deoarece $1 + (-1) = 0$, un pătrățel roșu anulează unul albastru.

Exemple

$+12 + (+4) = +16$
$(-7) + (-3) = -10$
$+7 + (-5) = +2$
$-8 + (+5) = -3$

---

2. Proprietățile adunării numerelor întregi

Fie $a, b, c \in \mathbb{Z}$

1. Asociativitate:
   $(a + b) + c = a + (b + c)$
   Exemplu:
   $(-17 + 3) + (-2) = -17 + [3 + (-2)] = -17$

2. Comutativitate:
   $a + b = b + a$
   Exemplu:
   $-32 + 45 = 45 + (-32) = 13$

3. Element neutru:
   $a + 0 = 0 + a = a$
   Exemplu:
   $+35 + 0 = 0 + (+35) = 35$

4. Element opus:
   Fiecare număr întreg $a$ are un opus $-a$ astfel încât:
   $a + (-a) = (-a) + a = 0$
   Exemplu:
   $35 + (-35) = -35 + 35 = 0$

---

Exerciții

1. Calculați:

   $$-8 + 12 + (-7) + (+9) + (-11) + (-4) + 6 = ?$$

   Rezolvare: $[-8 + (-7) + (-11) + (-4)] + [12 + 9 + 6] = -30 + 27 = -3$

2. Calculați:

   $$-17 + 35 + (-9) + (-35) + 17 = ?$$

   Rezolvare: $-17 + 17 + 35 + (-35) + (-9) = 0 + 0 + (-9) = -9$

---

3. Scăderea numerelor întregi

Definiție

Diferența numerelor întregi $a$ și $b$ este egală cu suma dintre $a$ și opusul lui $b$:

$$a - b = a + (-b)$$

Exemple

$-8 - 9 = -8 + (-9) = -17$
$16 - (-7) = 16 + (+7) = 23$
$-18 - 4 = -18 + (-4) = -22$

---

4. Reguli de desfacere a parantezelor

Regula 1

Dacă în fața parantezei se află semnul „+” sau niciun semn,
se elimină paranteza, iar termenii din interior se scriu cu aceleași semne.

Exemplu

$$(-34 + 28 - 17) + (+53 - 25 + 17) = -34 + 28 - 17 + 53 - 25 + 17 = +22$$

---

Regula 2

Dacă în fața parantezei se află semnul „–”,
se elimină paranteza, iar toți termenii din interior își schimbă semnul.

Exemplu

$$24 - (+28 - 31 + 12) = 24 - 28 + 31 - 12 = 15$$

---