C16 - Divizori și multiplii

---

Defintie

Un număr natural $a$ este divizibil (sau se divide) cu un număr natural $b$ dacă există un număr natural $c$ astfel încât:

$$a = b \cdot c.$$

Dacă $a = b \cdot c$, spunem că:

• $a$ este multiplu al numerelor $b$ și $c$,
• $b$ și $c$ sunt divizori ai lui $a$.

Notații

• Scriem:

  $$a \mid b$$

  și citim: „numărul $a$ este divizibil cu numărul natural $b$”.

• Scriem:

  $$b \mid a$$

  și citim: „numărul $b$ divide numărul $a$”.

Exemple

cerințǎ

Exemple simple de relații de divizibilitate:

• $15 \mid 3$ deoarece $15 = 3 \cdot 5$
• $27 \mid 9$ deoarece $27 = 9 \cdot 3$
• $35 \mid 7$ deoarece $35 = 7 \cdot 5$
• $99 \mid 11$ deoarece $99 = 11 \cdot 9$

Observații importante

Observatia 1

Orice număr natural $a$ se divide cu $1$:

$$a \mid 1$$

Observatia 2

Orice număr natural $a$ se divide cu el însuși:

$$a \mid a$$

Observatia 3

Numerele $1$ și $a$ sunt divizori improprii ai lui $a$.
Toți ceilalți divizori sunt divizori proprii.

Observatia 4

Numărul $0$ se divide cu orice număr natural:

$$0 \mid a, \quad a \in \mathbb{N}$$

---

Aplicații

Divizori ai unui număr

1. Scrieți toți divizorii numărului $18$.

definitie

$18 = 2 \cdot 9 = 3 \cdot 6$
Divizorii sunt: $1, 2, 3, 6, 9, 18$.

2. Scrieți toți divizorii numărului $50$.

Divizorii sunt: $1, 2, 5, 10, 25, 50$.

---

Multiplul unui număr

3. Scrieți primii 5 multipli ai lui $7$.

Multiplii sunt: $0, 7, 14, 21, 28$.

4. Scrieți toți multiplii lui $3$ cuprinși între $20$ și $40$.

Multiplii sunt: $21, 24, 27, 30, 33, 36, 39$.

---

Verificarea multiplicității

5. Stabiliți dacă numerele $781$, $225$, $1000$ sunt multipli ai lui $9$.

Calculăm:

• $781 : 9 = 86$ rest $7 \Rightarrow$ nu este multiplu.
• $225 : 9 = 25$ rest $0 \Rightarrow 225 = 9 \cdot 25 \Rightarrow$ este multiplu.
• $1000 : 9 = 111$ rest $1 \Rightarrow$ nu este multiplu.

---

Alte aplicații

6. Scrieți toți divizorii proprii ai lui $24$.

Răspuns: $2, 3, 4, 6, 8, 12$.

7. Scrieți 5 exemple de numere naturale care au exact 2 divizori.

Răspuns: $2, 7, 11, 17, 23$ (numere prime).

8. Scrieți 5 exemple de numere naturale care au exact 3 divizori.

Răspuns: $4, 9, 25, 49, 121$.
(acestea sunt pătratele numerelor prime)

9. Scrieți 5 exemple de numere naturale care au exact 4 divizori.

Răspuns: $6, 10, 15, 14, 21$.

---