C4.1 - Împărțirea euclidiană

---

Cine a fost Euclid?

Euclid a transformat geometria dintr-o colecție de reguli practice într-o știință deductivă riguroasă. El a demonstrat că teoremele complexe pot fi derivate logic dintr-un set minim de adevăruri evidente numite axiome. Deși este faimos pentru geometrie, Euclid a adus contribuții majore în aritmetică

Pasul 1: Înțeleg teoria

Împărțirea euclidiană

Teorema împărțirii euclidiene

Fie $a$ și $b$ două numere naturale, cu $b$ diferit de $0$. Atunci există o unică pereche de numere naturale $c$ și $r$, astfel încât:

$a = b \cdot c + r, \quad 0 \leq r < b$

Demonstrație

Exemplu:

Împărțirea euclidiană a numărului $85$ cu $11$:

$$85 = 11 \cdot 7 + 8 \text{, unde } 0 \leq 8 < 11$$

8 reprezintă restul împărțirii

7 reprezintă câtul împărțirii.

Observații

1. Împărțirea euclidiană înseamnă să impartim un număr $a$ în $b$ grupe egale. Fiecare grupă vă avea câte $c$ elemente, iar cele $r$ elemente care nu mai pot fi împărțite formează restul.

2. $a$ se numește deimpartitul, $b$ se numește impartitorul, $c$ se numește catul și $r$ se numește restul.

3. Există un algoritm de la care se poate realiza împărțirea euclidiană, numit algoritmul lui Euclid. Acesta presupune scăderea repetată a lui $b$ din $a$, până când se obține un rest mai mic decât $b$. Numărul de scăderi ne arată catul, iar numărul rămas este restul.

Exemplu: fie împărțirea euclidiană a numărului $2187$ cu $16$