C15.3 - Funcții trigonometrice (demonstrații)

---

---

Foarte Important

În cercul trigonometric, raza are lungimea 1. Raza reprezintă ipotenuza triunghiului dreptunghic format de un punct de pe cerc, originea și proiecția punctului pe axa OX. Astfel, funcțiile trigonometrice pot fi interpretate ca raporturi între laturile acestui triunghi.

După cum știm:

• $\sin \alpha = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}$

• $\cos \alpha = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}$

• $\tg \alpha = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}$

• $\ctg \alpha = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}$

Și deoarece ipotenuza are lungimea 1, rezultă că:

• $\sin \alpha = \text{cateta opusă}$

• $\cos \alpha = \text{cateta alăturată}$

• $\tg \alpha = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}$

• $\ctg \alpha = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}$

---

Demonstrații

Demonstrația identității fundamentale

Știm că într-un triunghi dreptunghic, conform teoremei lui Pitagora, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Astfel, pentru un unghi $\alpha$:

Cum:

• $\sin \alpha = \text{cateta opusă}$

• $\cos \alpha = \text{cateta alăturată}$

• raza (ipotenuza) = 1

Identitatea fundamentală

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Demonstrația sinusului și cosinusului de 30 de grade

Pentru a înțelege de ce $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, trebuie să vedem triunghiul echilateral întreg "oglindit" peste axa $OX$.

Triunghiul echilateral $AOB$ este compus din două triunghiuri dreptunghice identice, fiecare având un unghi de 30 de grade și unul de 60 de grade.

Cum raza cercului trigonometric este 1, atunci toate laturile triunghiului echilateral $AOB$ sunt egale cu 1. Asta înseamnă că:

$$AB = 2 \cdot AP = 1 \implies AP = \text{cateta opusă} = \frac{1}{2} \\[10pt] \text{Cum cateta opusă} = \sin \alpha \implies \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \\[10pt] \text{Din Teorema lui Pitagora:} \quad OA^2 = OP^2 + AP^2 \\[10pt] \implies 1 = OP^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\[10pt] \implies OP^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \\[10pt] \implies OP = \text{cateta alăturată} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] \text{Cum cateta alăturată} = \cos \alpha \implies \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

---

Demonstrația sinusului și cosinusului de 45 de grade

Pentru un unghi de 45 de grade, se formează un triunghi isoscel dreptunghic, unde cele două catete sunt egale.

$$\text{Cateta opusă} = \text{Cateta alăturată} = x = \sin 45^\circ = \cos 45^\circ$$

Dacă ipotenuza este 1, atunci conform Teoremei lui Pitagora avem:

$$x^2 + x^2 = 1^2 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

---

Demonstrația sinusului și cosinusului de 60 de grade