G6 - Măsurarea volumului și a capacității

---

Măsurarea volumului

Pentru a măsura volumul unui corp, ne întrebăm din câte cuburi mici de o anumită mărime este format acel corp.

Definiție

Volumul unui corp este numărul care arată de câte ori se cuprinde o unitate de măsură (un cub unitate) în acel corp.

Unitatea principală pentru măsurarea volumului este metrul cub, notat $m^3$. Un metru cub reprezintă volumul unui cub cu muchia de $1$ metru.

Multiplii și submultiplii metrului cub sunt:

Denumire	Notație	Relație cu $m^3$
kilometru cub	$km^3$	$1\,km^3 = 10^9\,m^3$
hectometru cub	$hm^3$	$1\,hm^3 = 10^6\,m^3$
decametru cub	$dam^3$	$1\,dam^3 = 1000\,m^3$
metru cub	$m^3$	$1\,m^3$
decimetru cub	$dm^3$	$1\,dm^3 = 0{,}001\,m^3$
centimetru cub	$cm^3$	$1\,cm^3 = 0{,}000001\,m^3$
milimetru cub	$mm^3$	$1\,mm^3 = 0{,}000000001\,m^3$

Schema transformărilor pentru volum

Regulă de transformare

La unitățile de volum, fiecare treaptă diferă de vecina ei prin $1000$ (la lungime era $10$, la arie era $100$).

• Pentru a transforma o unitate într-una imediat inferioară (mai mică), înmulțim cu $1000$.
• Pentru a transforma o unitate într-una imediat superioară (mai mare), împărțim la $1000$.

$$km^3 \;\xrightarrow{\;\times 1000\;}\; hm^3 \;\xrightarrow{\;\times 1000\;}\; dam^3 \;\xrightarrow{\;\times 1000\;}\; m^3 \;\xrightarrow{\;\times 1000\;}\; dm^3 \;\xrightarrow{\;\times 1000\;}\; cm^3 \;\xrightarrow{\;\times 1000\;}\; mm^3$$

Pentru $n$ trepte parcurse, înmulțim sau împărțim cu $(10^3)^n = 1000^n$.

De ce 1000?

La lungime trecem printr-o singură dimensiune ($\times 10$), la arie prin două dimensiuni ($\times 10^2 = 100$), iar la volum prin trei dimensiuni, deci $\times 10^3 = 1000$.

Exemplu rezolvat

1) $25\,m^3 = \;?\;dm^3$ — coborâm o treaptă, deci înmulțim cu $1000$:

$$25\,m^3 = 25 \cdot 1000 = 25\,000\,dm^3$$

2) $126{,}5\,cm^3 = \;?\;dm^3$ — urcăm o treaptă, deci împărțim la $1000$:

$$126{,}5\,cm^3 = 126{,}5 : 1000 = 0{,}1265\,dm^3$$

3) $29{,}47\,dam^3 = \;?\;dm^3$ — coborâm două trepte, deci înmulțim cu $(10^3)^2 = 10^6$:

$$29{,}47\,dam^3 = 29{,}47 \cdot 10^6 = 29\,470\,000\,dm^3$$

---

Volumul cubului

Să numărăm din câte cuburi unitate (cu muchia de $1\,cm$) este format un cub cu muchia de $3\,cm$. Avem $3$ cuburi pe lungime, $3$ pe lățime și $3$ pe înălțime:

$$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \;\text{cuburi unitate}$$

Deci volumul lui este $V = 27\,cm^3$. Generalizând:

Formulă

Volumul unui cub cu muchia de lungime $l$ este:

$$V_{\text{cub}} = l \cdot l \cdot l = l^3$$

Exemplu rezolvat

Un cubuleț al unui cub Rubik are muchia de $2\,cm$. Cât este volumul cubului Rubik?

Cubul Rubik are $3$ cubulețe pe fiecare muchie, deci latura lui este:

$$l = 3 \cdot 2 = 6\,cm$$

Volumul:

$$V = l^3 = 6^3 = 216\,cm^3$$

---

Volumul paralelipipedului dreptunghic

Paralelipipedul dreptunghic are trei dimensiuni: lungimea $L$, lățimea $l$ și înălțimea $h$.

Dacă punem $4$ cuburi pe lungime, $3$ pe lățime și $2$ pe înălțime, obținem $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ cuburi unitate. De aici:

Formulă

Volumul unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $L$, $l$ și $h$ este:

$$V_{\text{paralelipiped}} = L \cdot l \cdot h$$

Toate dimensiunile trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură.

Exemplu rezolvat

Un container are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $10\,m$, $6\,m$ și $5\,m$. Află volumul, exprimat în $dm^3$.

$$V = L \cdot l \cdot h = 10 \cdot 6 \cdot 5 = 300\,m^3$$

Transformăm în $dm^3$ (coborâm o treaptă, înmulțim cu $1000$):

$$300\,m^3 = 300 \cdot 1000 = 300\,000\,dm^3$$

---

Aria laterală și aria totală

Pe lângă volum (cât „spațiu" ocupă un corp), ne poate interesa și aria suprafeței lui — de exemplu, cât carton ne trebuie pentru a confecționa o cutie, sau cât tapet pentru a îmbrăca un perete.

Definiții

• Aria laterală ($\mathcal{A}_\ell$) este suma ariilor fețelor laterale ale corpului (fețele „din jur", fără baza de sus și cea de jos).
• Aria totală ($\mathcal{A}_t$) este suma ariilor tuturor fețelor corpului. Se obține adunând la aria laterală ariile celor două baze.

$$\mathcal{A}_t = \mathcal{A}_\ell + 2 \cdot \mathcal{A}_{\text{bază}}$$

Pentru a înțelege de unde vin formulele, ne imaginăm că desfacem corpul și îl întindem pe o masă (desfășurarea corpului).

Aria cubului

Un cub are 6 fețe, toate pătrate identice cu latura $l$. Aria unei fețe este $l^2$.

Cele 4 fețe laterale (fără baza de sus și cea de jos) dau aria laterală, iar toate 6 fețele dau aria totală.

Formule — cubul

$$\mathcal{A}_{\ell\,(\text{cub})} = 4 \cdot l^2$$$$\mathcal{A}_{t\,(\text{cub})} = 6 \cdot l^2$$

Exemplu rezolvat

Un cub are muchia $l = 5\,cm$. Calculează aria laterală și aria totală.

Aria unei fețe:

$$l^2 = 5^2 = 25\,cm^2$$

Aria laterală (4 fețe):

$$\mathcal{A}_\ell = 4 \cdot 25 = 100\,cm^2$$

Aria totală (6 fețe):

$$\mathcal{A}_t = 6 \cdot 25 = 150\,cm^2$$

Aria paralelipipedului dreptunghic

Paralelipipedul dreptunghic are 6 fețe, dreptunghiulare, egale două câte două (fețele opuse sunt identice):

• două fețe cu dimensiunile $L \times l$ (baza de jos și cea de sus),
• două fețe cu dimensiunile $L \times h$ (față și spate),
• două fețe cu dimensiunile $l \times h$ (stânga și dreapta).

Aria laterală este suma celor patru fețe „din jur" (toate în afară de cele două baze $L \times l$):

$$\mathcal{A}_\ell = 2 \cdot (L \cdot h) + 2 \cdot (l \cdot h) = 2h \cdot (L + l)$$

Observație

Expresia $L + l$ care apare aici este semiperimetrul bazei, iar $2(L+l)$ este chiar perimetrul bazei. Așadar aria laterală se poate scrie și ca:

$$\mathcal{A}_\ell = P_{\text{bază}} \cdot h$$

adică „perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea" — un mod ușor de reținut.

Aria totală adaugă cele două baze:

Formule — paralelipipedul dreptunghic

$$\mathcal{A}_{\ell} = 2h \cdot (L + l)$$$$\mathcal{A}_{t} = 2 \cdot (L \cdot l + L \cdot h + l \cdot h)$$

Exemplu rezolvat

Un paralelipiped dreptunghic are $L = 6\,cm$, $l = 4\,cm$ și $h = 5\,cm$. Calculează aria laterală și aria totală.

Aria laterală:

$$\mathcal{A}_\ell = 2h \cdot (L + l) = 2 \cdot 5 \cdot (6 + 4) = 10 \cdot 10 = 100\,cm^2$$

Aria totală:

$$\mathcal{A}_t = 2 \cdot (L \cdot l + L \cdot h + l \cdot h)$$$$\mathcal{A}_t = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 2 \cdot (24 + 30 + 20) = 2 \cdot 74 = 148\,cm^2$$

Nu confunda volumul cu aria!

• Volumul măsoară cât spațiu ocupă corpul și se exprimă în $cm^3$, $m^3$ etc.
• Aria (laterală sau totală) măsoară suprafața și se exprimă în $cm^2$, $m^2$ etc.

---

Măsurarea capacității (volumul lichidelor)

Capacitatea unui vas arată ce cantitate de lichid încape în el.

Definiție

Unitatea principală pentru măsurarea capacității este litrul, notat $l$. Legătura fundamentală cu volumul este:

$$1\,l = 1\,dm^3$$

Litrul are multipli și submultipli:

Multipli		Submultipli
kilolitru	$kl$	decilitru	$dl$
hectolitru	$hl$	centilitru	$cl$
decalitru	$dal$	mililitru	$ml$

Ca la lungime, fiecare treaptă diferă prin $10$:

$$1\,kl = 10\,hl = 10^2\,dal = 10^3\,l = 10^4\,dl = 10^5\,cl = 10^6\,ml$$

Exemplu rezolvat

Transformă:

a) $0{,}0107\,kl = \;?\;l$ — coborâm trei trepte, înmulțim cu $10^3$:

$$0{,}0107\,kl = 0{,}0107 \cdot 10^3 = 10{,}7\,l$$

b) $603{,}5\,dl = \;?\;dal$ — urcăm două trepte, împărțim la $10^2$:

$$603{,}5\,dl = 603{,}5 : 10^2 = 6{,}035\,dal$$

c) $20\,hl = \;?\;cl$ — coborâm patru trepte, înmulțim cu $10^4$:

$$20\,hl = 20 \cdot 10^4 = 200\,000\,cl$$

Legătura dintre volum și capacitate

Folosind $1\,l = 1\,dm^3$, putem afla câți litri încap într-un vas calculându-i mai întâi volumul.

Exemplu rezolvat

Află capacitatea, în litri, a unui bazin în formă de cub cu muchia de $10\,dm$.

$$V = l^3 = 10^3 = 1000\,dm^3 = 1000\,l$$

Exemplu rezolvat

Într-un vas cub cu muchia de $20\,cm$ se toarnă $4\,l$ de apă. La ce înălțime se ridică apa?

Pasul 1. Transformăm muchia: $20\,cm = 2\,dm$. Cei $4\,l$ ocupă un volum de $4\,dm^3$.

Pasul 2. Apa formează un paralelipiped cu baza pătrată $2\,dm \times 2\,dm$ și înălțimea necunoscută $h$:

$$V = l \cdot l \cdot h \;\Rightarrow\; 4 = 2 \cdot 2 \cdot h = 4h$$$$h = 4 : 4 = 1\,dm$$

Apa se ridică la înălțimea de $1\,dm$ (adică $10\,cm$).

---