G5 - Unități de măsură. Perimetre și arii

---

Măsurarea lungimii

În Sistemul Internațional de unități de măsură, unitatea principală pentru lungime este metrul, notat cu $m$.

Definiție

Metrul este unitatea principală de măsură pentru lungime. El are atât multipli (unități mai mari), cât și submultipli (unități mai mici).

Multiplii și submultiplii metrului sunt:

Denumire	Notație	Relație cu metrul
kilometru	$km$	$1\,km = 1000\,m$
hectometru	$hm$	$1\,hm = 100\,m$
decametru	$dam$	$1\,dam = 10\,m$
metru	$m$	$1\,m$
decimetru	$dm$	$1\,dm = 0{,}1\,m$
centimetru	$cm$	$1\,cm = 0{,}01\,m$
milimetru	$mm$	$1\,mm = 0{,}001\,m$

Schema transformărilor

Pe scara unităților de lungime, fiecare treaptă este de 10 ori mai mare decât cea de sub ea:

$$km \;\xrightarrow{\;\times 10\;}\; hm \;\xrightarrow{\;\times 10\;}\; dam \;\xrightarrow{\;\times 10\;}\; m \;\xrightarrow{\;\times 10\;}\; dm \;\xrightarrow{\;\times 10\;}\; cm \;\xrightarrow{\;\times 10\;}\; mm$$

Regulă de transformare

• Când trecem de la o unitate mai mare la una mai mică, înmulțim cu $10$ la fiecare treaptă coborâtă.
• Când trecem de la o unitate mai mică la una mai mare, împărțim la $10$ la fiecare treaptă urcată.

Relațiile principale:

$$1\,km = 10\,hm = 100\,dam = 1000\,m$$ $$1\,m = 10\,dm = 100\,cm = 1000\,mm$$

Exemplu rezolvat

Transformă în metri:

a) $3{,}5\,dam$ — coborâm o treaptă (dam → m), deci înmulțim cu $10$:

$$3{,}5\,dam = 3{,}5 \cdot 10 = 35\,m$$

b) $1700\,cm$ — urcăm două trepte (cm → m), deci împărțim la $100$:

$$1700\,cm = 1700 : 100 = 17\,m$$

c) $6{,}29\,hm$ — coborâm două trepte (hm → m), deci înmulțim cu $100$:

$$6{,}29\,hm = 6{,}29 \cdot 100 = 629\,m$$

Exemplu rezolvat

Calculează, exprimând rezultatul în $dm$:

$$0{,}00023\,km + 685\,mm$$

Transformăm fiecare termen în $dm$:

$$0{,}00023\,km = 0{,}00023 \cdot 10^4\,dm = 2{,}3\,dm$$$$685\,mm = 685 : 10^2\,dm = 6{,}85\,dm$$

Adunăm:

$$2{,}3\,dm + 6{,}85\,dm = 9{,}15\,dm$$

---

Perimetrul unui poligon

Definiție

Perimetrul unui poligon este egal cu suma lungimilor laturilor sale. Se notează cu $P$.

Perimetrul pătratului

Pătratul are toate cele patru laturi egale, de lungime $l$.

$$P_{\text{pătrat}} = l + l + l + l = 4 \cdot l$$

Perimetrul dreptunghiului

Dreptunghiul are laturile opuse egale: lungimea $L$ și lățimea $l$.

$$P_{\text{dreptunghi}} = 2 \cdot L + 2 \cdot l = 2 \cdot (L + l)$$

Perimetrul triunghiului

Dacă laturile triunghiului au lungimile $a$, $b$ și $c$:

$$P_{\text{triunghi}} = a + b + c$$

Exemplu rezolvat

Triunghiul $\triangle ABC$ are laturile $AB = 24\,cm$, $AC = 100\,mm$ și $BC = 2{,}6\,dm$. Calculează perimetrul.

Pasul 1. Aducem toate lungimile la aceeași unitate de măsură ($cm$):

$$AC = 100\,mm = 10\,cm,\qquad BC = 2{,}6\,dm = 26\,cm$$

Pasul 2. Calculăm perimetrul:

$$P = AB + AC + BC = 24\,cm + 10\,cm + 26\,cm = 60\,cm$$

Observație importantă

Înainte de a aduna lungimi exprimate în unități diferite, transformăm întotdeauna toate valorile în aceeași unitate de măsură.

---

Măsurarea ariei

Aria unei suprafețe arată cât de mare este suprafața respectivă. Pentru a o măsura, ne întrebăm câte pătrate de o anumită mărime încap în interiorul ei.

În figura de mai jos, un pătrat cu latura de $3\,cm$ poate fi acoperit cu exact 9 pătrate mici, fiecare cu latura de $1\,cm$. Spunem că aria lui este de $9\,cm^2$.

Definiție

Unitatea principală de măsură pentru arie este metrul pătrat, notat $m^2$. Acesta reprezintă aria unui pătrat cu latura de $1$ metru.

Ca și la lungime, metrul pătrat are multipli și submultipli:

Denumire	Notație	Relație cu $m^2$
kilometru pătrat	$km^2$	$1\,km^2 = 1\,000\,000\,m^2$
hectometru pătrat	$hm^2$	$1\,hm^2 = 10\,000\,m^2$
decametru pătrat	$dam^2$	$1\,dam^2 = 100\,m^2$
metru pătrat	$m^2$	$1\,m^2$
decimetru pătrat	$dm^2$	$1\,dm^2 = 0{,}01\,m^2$
centimetru pătrat	$cm^2$	$1\,cm^2 = 0{,}0001\,m^2$
milimetru pătrat	$mm^2$	$1\,mm^2 = 0{,}000001\,m^2$

Schema transformărilor pentru arie

Regulă de transformare

La unitățile de arie, fiecare treaptă diferă de vecina ei prin $100$ (nu prin $10$, ca la lungime).

• Pentru a transforma o unitate într-una imediat inferioară (mai mică), înmulțim cu $100$.
• Pentru a transforma o unitate într-una imediat superioară (mai mare), împărțim la $100$.

$$km^2 \;\xrightarrow{\;\times 100\;}\; hm^2 \;\xrightarrow{\;\times 100\;}\; dam^2 \;\xrightarrow{\;\times 100\;}\; m^2 \;\xrightarrow{\;\times 100\;}\; dm^2 \;\xrightarrow{\;\times 100\;}\; cm^2 \;\xrightarrow{\;\times 100\;}\; mm^2$$

Pentru $n$ trepte parcurse, înmulțim sau împărțim cu $(10^2)^n = 100^n$.

Exemplu rezolvat

Completează:

a) $12\,cm^2 = \;?\;dm^2$ — urcăm o treaptă, deci împărțim la $10^2$:

$$12\,cm^2 = 12 : 10^2 = 0{,}12\,dm^2$$

b) $7\,dam^2 = \;?\;dm^2$ — coborâm două trepte, deci înmulțim cu $10^4$:

$$7\,dam^2 = 7 \cdot 10^4 = 70\,000\,dm^2$$

c) $80\,m^2 = \;?\;dm^2$ — coborâm o treaptă, deci înmulțim cu $100$:

$$80\,m^2 = 80 \cdot 100 = 8000\,dm^2$$

Exemplu rezolvat

Compară $5{,}42\,cm^2$ cu $54{,}2\,mm^2$.

Aducem la aceeași unitate ($mm^2$), coborând o treaptă:

$$5{,}42\,cm^2 = 5{,}42 \cdot 10^2 = 542\,mm^2$$

Cum $542\,mm^2 > 54{,}2\,mm^2$, rezultă:

$$5{,}42\,cm^2 > 54{,}2\,mm^2$$

Unități de măsură agricole

Pentru suprafețe de teren se folosesc unități speciale:

$$1\,\text{ar} = 1\,dam^2 = 100\,m^2$$ $$1\,\text{hectar (ha)} = 1\,hm^2 = 10\,000\,m^2$$

Exemplu rezolvat

Transformă:

a) $5{,}6\,km^2 = \;?\;\text{ari}$

$$5{,}6\,km^2 = 5{,}6 \cdot 10^4\,dam^2 = 56\,000\,dam^2 = 56\,000\;\text{ari}$$

b) $1{,}8\,km^2 = \;?\;ha$

$$1{,}8\,km^2 = 1{,}8 \cdot 10^2\,hm^2 = 180\,hm^2 = 180\;ha$$

---

Aria pătratului și a dreptunghiului

Aria pătratului

Formulă

Aria unui pătrat cu latura de lungime $l$ este:

$$A_{\text{pătrat}} = l \cdot l = l^2$$

Aria dreptunghiului

Formulă

Aria unui dreptunghi cu lungimea $L$ și lățimea $l$ este:

$$A_{\text{dreptunghi}} = L \cdot l$$

Exemplu rezolvat

Calculează aria unui pătrat cu latura $l = 5\,cm$:

$$A = l^2 = 5^2 = 25\,cm^2$$

Exemplu rezolvat

O bucată dreptunghiulară de gresie are dimensiunile $L = 60\,cm$ și $l = 30\,cm$. Află suprafața plăcii:

$$A = L \cdot l = 60\,cm \cdot 30\,cm = 1800\,cm^2$$

Exemplu rezolvat

Calculează aria unui pătrat care are perimetrul egal cu $20\,cm$.

Pasul 1. Aflăm latura din perimetru:

$$P = 4l \;\Rightarrow\; 20 = 4l \;\Rightarrow\; l = 20 : 4 = 5\,cm$$

Pasul 2. Calculăm aria:

$$A = l^2 = 5^2 = 25\,cm^2$$

Atenție la unități!

• Perimetrul se măsoară în unități de lungime ($cm$, $m$, $km$...).
• Aria se măsoară în unități de arie ($cm^2$, $m^2$, $km^2$...).

---