Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi

---

1) Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi

Teoremă

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu $180^\circ$.

Cu alte cuvinte, dacă într-un triunghi $\triangle ABC$ avem unghiurile:

$$\angle A,\quad \angle B,\quad \angle C$$

atunci:

$$m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180^\circ$$

---

Demonstrația teoremei

Această proprietate se poate demonstra ușor urmărind figura de mai jos.

Considerăm triunghiul $\triangle ABC$ și paralela $DE$ dusă prin punctul $A$ la latura $BC$.

$$DE \parallel BC$$

Observație

Deoarece $DE \parallel BC$, putem folosi proprietatea unghiurilor formate de două drepte paralele tăiate de o secantă.

Aplicăm teorema paralelelor tăiate de o secantă și obținem:

$$\angle DAB = \angle ABC$$

Acestea sunt unghiuri alterne interne. Notăm măsura lor cu $b^\circ$.

De asemenea:

$$\angle EAC = \angle ACB$$

Acestea sunt tot unghiuri alterne interne. Notăm măsura lor cu $c^\circ$.

Notăm:

$$m(\angle BAC)=a^\circ$$

Unghiul $\angle DAE$ este un unghi alungit, deci are măsura de $180^\circ$.

Dar unghiul $\angle DAE$ este format din trei unghiuri alăturate:

$$\angle DAB,\quad \angle BAC,\quad \angle CAE$$

Prin urmare:

$$m(\angle DAE)=b^\circ+a^\circ+c^\circ$$

Cum $\angle DAE$ este unghi alungit, rezultă:

$$a^\circ+b^\circ+c^\circ=180^\circ$$

Concluzie

În orice triunghi, suma măsurilor celor trei unghiuri interioare este egală cu $180^\circ$.

$$m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180^\circ$$

---

2) Unghi exterior triunghiului

Definiție

Un unghi adiacent și suplementar unuia dintre unghiurile unui triunghi se numește unghi exterior al triunghiului.

Asta înseamnă că un unghi exterior se formează prin prelungirea unei laturi a triunghiului.

Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este $180^\circ$.

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

---

Numărul unghiurilor exterioare ale unui triunghi

Observație

Un triunghi are șase unghiuri exterioare, două câte două congruente, opuse la vârf.

În figura de mai jos, triunghiul $\triangle ABC$ are unghiurile exterioare numerotate cu:

$$1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6$$

Unghiurile exterioare opuse la vârf sunt congruente:

$$\angle 1 = \angle 2$$ $$\angle 3 = \angle 4$$ $$\angle 5 = \angle 6$$

---

3) Teorema unghiului exterior

Teorema unghiului exterior

Măsura unui unghi exterior unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor triunghiului neadiacente lui.

Cu alte cuvinte, un unghi exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare ale triunghiului care nu sunt lângă el.

Folosind figura de mai sus, avem:

$$m(\angle 1)=m(\angle 2)=m(\angle B)+m(\angle C)$$ $$m(\angle 3)=m(\angle 4)=m(\angle A)+m(\angle B)$$ $$m(\angle 5)=m(\angle 6)=m(\angle A)+m(\angle C)$$

Observație

Pentru fiecare unghi exterior, unghiul interior de lângă el nu se adună în formulă.

Se adună doar cele două unghiuri interioare neadiacente.

---

Exerciții

Exercițiul 1

Într-un triunghi, două unghiuri au măsurile $40^\circ$ și $75^\circ$. Măsura celui de-al treilea unghi este:

A. $55^\circ$
B. $65^\circ$
C. $75^\circ$
D. $105^\circ$

Exercițiul 2

Într-un triunghi $\triangle ABC$, avem:

$$m(\angle A)=50^\circ,\quad m(\angle B)=60^\circ$$

Măsura unghiului exterior din vârful $C$ este:

A. $70^\circ$
B. $100^\circ$
C. $110^\circ$
D. $120^\circ$

Exercițiul 3

Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma măsurilor:

A. tuturor unghiurilor triunghiului
B. celor două unghiuri interioare adiacente lui
C. celor două unghiuri interioare neadiacente lui
D. unghiului interior alăturat lui și a unui unghi exterior

Răspunsuri

1. B. $65^\circ$

$$180^\circ-(40^\circ+75^\circ)=65^\circ$$

2. C. $110^\circ$

Unghiul exterior din vârful $C$ este egal cu:

$$m(\angle A)+m(\angle B)=50^\circ+60^\circ=110^\circ$$

3. C. celor două unghiuri interioare neadiacente lui